Una bola que sale por el borde de una mesa

Las fuerzas que actúan sobre la bola son:

El peso actuando en el centro de masas proporciona el momento que provoca el movimiento de rotación del c.m. de la bola alrededor de un eje que pasa por el borde de la mesa, mientras que la fuerza de rozamiento evita el deslizamiento de la bola hasta el momento que alcanza un ángulo crítico. A partir de ese momento, la bola desliza sobre el borde, hasta que la reacción N se hace cero. Finalmente, la bola cae bajo la acción de su peso. Calcularemos para esta etapa del movimiento la velocidad inicial del centro de masas y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m..

Coordendas polares

Para estudiar el movimiento de la bola utilizaremos las coordenadas polares. En una página previa hemos expresado el vector velocidad y el vector aceleración en coordenadas polares.

v= dr dt = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^ a= dv dt =( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

Para describir el movimiento de la bola adoptamos el sistema de referencia mostrado en la segunda figura, más arriba.

Primera etapa del movimiento

Las ecuaciones del movimiento del c.m. en la dirección radial r y en la dirección θ son, respectivamente,

mR ( dθ dt ) 2 =Nmgsinθ mR d 2 θ d t 2 = F r mgcosθ

La ecuación de la dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es

I c d 2 θ d t 2 = F r R I c = 2 5 m R 2

Combinado estas dos últimas ecuaciones obtenemos

d 2 θ d t 2 = 5 7 g R cosθ

Integramos esta ecuación, con las condiciones iniciales siguientes: θ=π/2, ω0 =v0/R.

dω dt = 5 7 g R cosθ dω dθ dθ dt = 5 7 g R cosθω dω dθ = 5 7 g R cosθ ω 0 ω ω·dω= 5 7 g R π/2 θ cosθ·dθ 1 2 ω 2 1 2 ω 0 2 = 5 7 g R (1sinθ) ( dθ dt ) 2 = 10 7 g R (1sinθ)+ ω 0 2

Calculamos la reacción del borde N y la fuerza de rozamiento Fr

N= 17 7 mgsinθmR ω 0 2 10 7 mg F r = 2 7 mgcosθ

La fuerza de rozamiento Fr va creciendo a medida que disminuye el ángulo θ, hasta que alcanza el valor máximo μsN momento en el que la bola empieza a deslizar sobre el borde. μs es el coeficiente estático de rozamiento. El ángulo crítico θ1 para el cual Fr= μsN es

μ s ( 17gsin θ 1 7R ω 0 2 10g )=2gcos θ 1

Para calcular θ1, se resuelve esta ecuación trascendente por procedimientos numéricos

En la figura se representa la función

μ s ( 17gsinθ7R ω 0 2 10g )2gcosθ

Para μs=0.3 y ω0 =0.5 rad/s. El ángulo para el cual la función se hace cero es aproximadamente, 55º

Para calcular el ángulo que gira el c.m. de la bola en función del tiempo hay que resolver por procedimientos numéricos la ecuación diferencial

d 2 θ d t 2 = 5 7 g R cosθ

con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=π/2, dθ/dt=ω0.

Se termina la primera etapa del movimiento en el instante t1 cuando la posición del c.m. de la bola es θ1 y lleva una velocidad angular.

( dθ dt ) 1 = 10 7 g R (1sin θ 1 )+ ω 0 2

Ejemplo.

Resolvemos la ecuación trascendente y obtenemos θ1=55.3º que es el ángulo girado por el c.m. al concluir la primera etapa del movimiento.

La posición del c.m. es

xc=R ·cos θ1=0.57 m
yc=R ·sin θ1=0.82 m

La velocidad angular de rotación vale,

( dθ dt ) 1 = 10 7 9.8 1.0 (1sin55.3)+ 0.5 2 =1.65rad/s

Segunda etapa del movimiento.

El punto de contacto de la bola desliza sobre el borde de la mesa.

Las ecuaciones del movimiento del c.m. en la dirección radial r y en la dirección θ son, respectivamente,

mR ( dφ dt ) 2 =Nmgsinφ mR d 2 φ d t 2 = F r mgcosφ

Como la bola está deslizando, la relación entre la fuerza de rozamiento y la fuerza normal es

Frk·N

Donde μk es el coeficiente cinético

Combinando las tres primeras ecuaciones, el movimiento del c.m. está descrito por la ecuación diferencial

d 2 φ d t 2 = g R ( cosφ μ k sinφ ) μ k ( dφ dt ) 2

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=t1, φ=θ1, dφ/dt=(dθ/dt)1

La ecuación de la dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es la misma que en el apartado anterior.

I c d 2 θ d t 2 = F r R I c = 2 5 m R 2

Se resuelve la ecuación diferencial del movimiento del c.m. y obtenemos la función φ(t). Calculamos el valor de la fuerza de rozamiento en cada instante t mediante

F r =mR d 2 φ d t 2 +mgcosφ

Resolvemos aplicando procedimientos numéricos la ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. con las siguientes condiciones iniciales siguientes: en el instante t=t1, θ=θ1, dθ/dt=(dθ/dt)1

Vigilamos el valor de la fuerza normal N

N=mgsinφmR ( dφ dt ) 2

Cuando la fuerza normal N se anula, en el instante t2, la posición del c.m. es

x0=R·cos φ2
y0=R·sin φ2

Las componentes rectangulares de la velocidad inicial del c.m. son:

v 0x =R ( dφ dt ) 2 sin φ 2 v 0y =R ( dφ dt ) 2 cos φ 2

La velocidad angular final de rotación de la bola alrededor de un eje que pasa por el c.m. es (dθ/dt)2

Tercera etapa del movimiento

A partir del instante t2, la bola cae libremente bajo la acción del peso actuando en el c.m. El c.m. de la bola describe un movimiento parabólico, a la vez que la bola gira con velocidad angular constante alrededor de un eje que pasa por el c.m.

x=R·cos φ 2 + v 0x (t t 2 ) y=R·sin φ 2 + v 0y (t t 2 )+ 1 2 (g) ( t t 2 ) 2 θ= θ 2 + ( dθ dt ) 2 (t t 2 )

Actividades

Se introduce

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Observamos las tres etapas del movimiento de la bola:

El programa nos proporciona, los datos de la posición del c.m. y de la velocidad angular de rotación.


Referencias

Bacon M. E.,How balls roll off tables. Am. J. Phys. 73 (8) August 2005, pp. 722-724