El rozamiento en el movimiento de rotación

La ecuación del movimiento

Las fuerzas sobre el bloque son

Si el bloque se mueve con aceleración a, la ecuación del movimiento es

mg-T=ma

Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación al disco de masa M y radio R.

Si el disco gira con aceleración angular α, la ecuación del movimiento es

T·R-Mr=I α

El momento de inercia del disco, respecto del eje vertical es MR2/2

Como la aceleración del bloque es la aceleración tangencial de un punto del borde del disco, la relación entre las dos aceleraciones es a= α·R

Eliminando la tensión T de la cuerda, despejamos la aceleración a del bloque

a= 2(mg M r /R) 2m+M

Momento de rozamiento

Cuando un bloque desliza sobre un plano horizontal, la fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento, su valor es Fr= μ·N, donde N es la reacción del plano igual al peso del bloque.

Consideremos un disco en rotación con velocidad angular ω, apoyado en un plano horizontal. Tomamos un elemento del disco, a una distancia x de su centro. La velocidad de dicho elemento es ω·x, y su dirección es perpendicular al radio. La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de dicho elemento, tal como se muestra en la figura.

Si dividimos el disco en anillos de radio x, y de anchura dx, observamos que el momento de las fuerzas de rozamiento debidos a todos los elementos del anillo tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido. El momento resultante es

dMr= μ·dN·x

donde dN es la reacción del plano igual al peso del anillo de radio x y espesor dx

dN= Mg π R 2 2πx·dx= 2Mg R 2 x·dx

El momento total, es la suma de los momentos de todos los anillos en los que hemos dividido el disco

M r = 0 R μ 2Mg R 2 x 2 dx = 2μMgR 3

Introduciendo el valor de Mr en la fórmula de la aceleración a del bloque

a= 6m4μM 6m+3M g

La velocidad del bloque cuando ha descendido una altura h partiendo del reposo, vale

v= 2ah = 2 6m4μM 6m+3M gh

Balance energético

Cuando el bloque desciende una altura h, adquiere una velocidad v y el disco gira con velocidad angular ω, con v=ω·R.

La energía potencial del bloque mgh se convertiría en energía cinética del bloque mv2/2  y del disco 2/2 si no hubiese rozamiento.

Una parte de la energía potencial se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, que es el producto del momento de rozamiento Mr por el ángulo girado θ=h/R por el disco

W=-Mr·θ

El balance energético se expresa mediante la ecuación

mgh M r θ= 1 2 m v 2 + 1 2 ( 1 2 M R 2 ) ω 2

Despejamos la velocidad v del bloque

v= 12m8μM 6m+3M gh

Ejemplo

La aceleración del bloque es

a= 6·0.254·0.3·1.0 6·0.25+3·1.0 9.8=0.65 m/s 2

Cuando el bloque desciende h=1 m partiendo del reposo, alcanza una velocidad de

v= 2·0.65·1.0 =1.14m/s

Actividades

Se introduce

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Si se cumple que 6m>4μM, la aceleración del bloque a>0. Observamos como el bloque desciende. En la parte superior izquierda, se muestra: el tiempo t, la posición del bloque x y su velocidad v.

En la parte central, un diagrama en forma de tarta nos muestra el balance energético:


Referencias

Sherfinski J. A rotacional dynamics problem with friction and calculus. The Physics Teacher. Vol 39, March 2001, pp. 150-15