Rozamiento constante

Un disco de masa M y radio R está situado encima de una mesa y puede girar alrededor de un eje vertical. Está conectado mediante una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable a un bloque de masa m. A medida que el bloque desciende, la cuerda se desenrolla del borde del disco y lo hace girar alrededor de su eje. Vamos a calcular la aceleración a del bloque, sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el disco y el plano horizontal sobre el que está apoyado es μ.

Las fuerzas sobre el bloque son

• El peso mg
• La tensión de la cuerda T

Si el bloque se mueve con aceleración a, la ecuación del movimiento es

mg-T=ma

Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación al disco de masa M y radio R.

• La tensión de la cuerda ejerce un momento T·R

• El rozamiento entre la superficie del disco y el plano horizontal ejerce un momento M_r que se opone al movimiento de rotación del disco, y que calcularemos más adelante

Si el disco gira con aceleración angular α, la ecuación del movimiento es

T·R-M_r=I α

El momento de inercia del disco, respecto del eje vertical es MR²/2

Como la aceleración del bloque es la aceleración tangencial de un punto del borde del disco, la relación entre las dos aceleraciones es a= α·R

Eliminando la tensión T de la cuerda, despejamos la aceleración a del bloque

${\displaystyle a=\frac{2(mg-M_r/R)}{2m+M}}$

Momento de rozamiento

Cuando un bloque desliza sobre un plano horizontal, la fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento, su valor es F_r= μ·N, donde N es la reacción del plano igual al peso del bloque.

Consideremos un disco en rotación con velocidad angular ω, apoyado en un plano horizontal. Tomamos un elemento del disco, a una distancia x de su centro. La velocidad de dicho elemento es ω·x, y su dirección es perpendicular al radio. La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de dicho elemento, tal como se muestra en la figura.

Si dividimos el disco en anillos de radio x, y de anchura dx, observamos que el momento de las fuerzas de rozamiento debidos a todos los elementos del anillo tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido. El momento resultante es

dM_r= μ·dN·x

donde dN es la reacción del plano igual al peso del anillo de radio x y espesor dx

${\displaystyle dN=\frac{Mg}{\pi R^2}2\pi x·dx=\frac{2Mg}{R^2}x·dx}$

El momento total, es la suma de los momentos de todos los anillos en los que hemos dividido el disco

${\displaystyle M_r={\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}\mu \frac{2Mg}{R^2}{x}^{2}dx}=\frac{2\mu MgR}{3}}$

Introduciendo el valor de M_r en la fórmula de la aceleración a del bloque

${\displaystyle a=\frac{6m-4\mu M}{6m+3M}g}$

La velocidad del bloque cuando ha descendido una altura h partiendo del reposo, vale

${\displaystyle v=\sqrt{2ah}=\sqrt{2\frac{6m-4\mu M}{6m+3M}gh}}$

Balance energético

Cuando el bloque desciende una altura h, adquiere una velocidad v y el disco gira con velocidad angular ω, con v=ω·R.

La energía potencial del bloque mgh se convertiría en energía cinética del bloque mv²/2  y del disco Iω²/2 si no hubiese rozamiento.

Una parte de la energía potencial se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, que es el producto del momento de rozamiento M_r por el ángulo girado θ=h/R por el disco

W=-M_r·θ

El balance energético se expresa mediante la ecuación

${\displaystyle mgh-M_r\theta =\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}M{R}^2\right){\omega }^2}$

Despejamos la velocidad v del bloque

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{12m-8\mu M}{6m+3M}gh}}$

Ejemplo

• Masa del disco M=1.0 kg
• Masa del bloque m=0.25 kg
• Coeficiente de rozamiento μ=0.3

La aceleración del bloque es

${\displaystyle a=\frac{6·0.25-4·0.3·1.0}{6·0.25+3·1.0}9.8=0.65{\text{m/s}}^{\text{2}}}$

Cuando el bloque desciende h=1 m partiendo del reposo, alcanza una velocidad de

${\displaystyle v=\sqrt{2·0.65·1.0}=1.14\text{m/s}}$

Actividades

Se introduce

• La masa del disco M, en el control titulado Masa disco
• La masa del bloque m, en el control titulado Masa bloque
• El coeficiente de rozamiento μ, en el control titulado Coeficiente rozamiento
• El radio del disco se ha fijado en el valor R=0.25 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Si se cumple que 6m>4μM, la aceleración del bloque a>0. Observamos como el bloque desciende. En la parte superior izquierda, se muestra: el tiempo t, la posición del bloque x y su velocidad v.

En la parte central, un diagrama en forma de tarta nos muestra el balance energético:

• La energía potencial del bloque, en color azul;.
• La energía cinética del bloque, en color rojo.
• La energía cinética del disco, en color rosa.
• El trabajo de la fuerza de rozamiento, en color gris.

Modelos de rozamiento

Sea una placa de momento de inercia I, que puede girar alrededor de un eje con velocidad inicial ω₀. La velocidad angular de rotación ω disminuye con el tiempo a causa del momento M_r de la fuerza de rozamiento. La ecuación del movimiento es

${\displaystyle I\frac{d\omega }{dt}=-M_r}$

Examinamos distintos modelos de rozamiento y sus combinaciones

1. Rozamiento constante

Sea M_r=α·I

Integrando la ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}d\omega }=-\alpha {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \omega ={\omega }_0-\alpha t\end{array}}$

La velocidad angular disminuye linealmente con el tiempo

2. Rozamiento proporcional a la velocidad angular

Sea M_r=βω·I

Integrando la ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\omega }}=-\beta {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \ln \omega -\ln {\omega }_0=-\beta t\\ \omega ={\omega }_0\exp \left(-\beta t\right)\end{array}}$

La velocidad angular disminuye exponencialmente con el tiempo

3. Rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad angular

Sea M_r=γω²I

Integrando la ecuación del movimiento

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{{\omega }^2}}=-\gamma {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \frac{1}{{\omega }_0}-\frac{1}{\omega }=-\gamma t\\ \omega =\frac{{\omega }_0}{1+{\omega }_0\gamma t}\end{array}}$

4. Combinación de rozamiento constante y proporcional a la velocidad angular

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\omega }{dt}=-\left(\alpha +\beta \omega \right)\\ {\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\alpha +\beta \omega }}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \frac{1}{\beta }\left(\ln \left(\alpha +\beta \omega \right)-\ln \left(\alpha +\beta {\omega }_0\right)\right)=-t\\ \omega =\left(\frac{\alpha }{\beta }+{\omega }_0\right)\exp \left(-\beta t\right)-\frac{\alpha }{\beta }\end{array}}$

5. Combinación de rozamiento constante y proporcional al cuadrado de la velocidad angular

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\omega }{dt}=-\left(\alpha +\gamma {\omega }^2\right)\\ {\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\alpha +\gamma {\omega }^2}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \frac{1}{\gamma }{\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\frac{\alpha }{\gamma }+{\omega }^2}}=-t\\ \frac{1}{\gamma }\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}\left\{\arctan \left(\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}\omega \right)-\arctan \left(\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}{\omega }_0\right)\right\}=-t\\ \arctan \left(\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}\omega \right)=\arctan \left(\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}{\omega }_0\right)-t\sqrt{\alpha \gamma }\end{array}}$

Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

${\displaystyle \tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}$

Despejamos la velocidad angular de rotación ω

${\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}\omega =\frac{\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}{\omega }_0-\tan \left(t\sqrt{\alpha \gamma }\right)}{1+{\omega }_0\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}\tan \left(t\sqrt{\alpha \gamma }\right)}\\ \omega =\frac{{\omega }_0-\sqrt{\frac{\alpha }{\gamma }}\tan \left(t\sqrt{\alpha \gamma }\right)}{1+{\omega }_0\sqrt{\frac{\gamma }{\alpha }}\tan \left(t\sqrt{\alpha \gamma }\right)}\end{array}}$

6. Combinación de rozamiento proporcional a la velocidad y proporcional al cuadrado de la velocidad angular

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\omega }{dt}=-\left(\beta \omega +\gamma {\omega }^2\right)\\ {\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\beta \omega +\gamma {\omega }^2}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\end{array}}$

Convertimos la fracción en suma de dos fracciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\beta }{\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\left(\frac{1}{\omega }-\frac{\gamma }{\beta +\gamma \omega }\right)d\omega }=-t\\ \frac{1}{\beta }\left\{\ln \frac{\omega }{{\omega }_0}-\ln \frac{\beta +\gamma \omega }{\beta +\gamma {\omega }_0}\right\}=-t\\ \frac{\omega \left(\beta +\gamma {\omega }_0\right)}{{\omega }_0\left(\beta +\gamma \omega \right)}=\exp \left(-\beta t\right)\\ \omega =\frac{\beta {\omega }_0\exp \left(-\beta t\right)}{\beta +\gamma {\omega }_0-\gamma {\omega }_0\exp \left(-\beta t\right)}=\frac{\beta {\omega }_0}{\left(\beta +\gamma {\omega }_0\right)\exp \left(\beta t\right)-\gamma {\omega }_0}\end{array}}$

7. Combinación de rozamiento constante, proporcional a la velocidad y proporcional al cuadrado de la velocidad angular

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\omega }{dt}=-\left(\alpha +\beta \omega +\gamma {\omega }^2\right)\\ {\displaystyle \underset{{\omega }_0}{\overset{\omega }{\int }}\frac{d\omega }{\alpha +\beta \omega +\gamma {\omega }^2}}=-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\end{array}}$

Completamos cuadrados

${\displaystyle \alpha +\beta \omega +\gamma {\omega }^2=\alpha -\frac{{\beta }^2}{4\gamma }+{\left(\frac{\beta }{2\sqrt{\gamma }}+\sqrt{\gamma }\omega \right)}^2}$

Efectuamos el cambio de variable

${\displaystyle u=\frac{\beta }{2\sqrt{\gamma }}+\sqrt{\gamma }\omega ,du=\sqrt{\gamma }d\omega }$

La integral es inmediata

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \int \frac{d\omega }{\alpha +\beta \omega +\gamma {\omega }^2}=\frac{1}{\sqrt{\gamma }}{\displaystyle \int \frac{du}{\alpha -\frac{{\beta }^2}{4\gamma }+u^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\gamma }}\frac{1}{\sqrt{\alpha -\frac{{\beta }^2}{4\gamma }}}\arctan \left(\frac{u}{\sqrt{\alpha -\frac{{\beta }^2}{4\gamma }}}\right)=\\ \frac{2}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\arctan \left(\frac{\frac{\beta }{2\sqrt{\gamma }}+\sqrt{\gamma }\omega }{\sqrt{\alpha -\frac{{\beta }^2}{4\gamma }}}\right)=\frac{2}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\arctan \left(\frac{\beta +2\gamma \omega }{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)\end{array}}$

La integral definida es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\left\{\arctan \left(\frac{\beta +2\gamma \omega }{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)-\arctan \left(\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)\right\}=-t\\ \arctan \left(\frac{\beta +2\gamma \omega }{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)-\arctan \left(\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)=-\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\end{array}}$

Utilizando la fórmula de tan(x+y)

${\displaystyle \begin{array}{l}\arctan \left(\frac{\beta +2\gamma \omega }{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)=\arctan \left(\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\right)-\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\\ \frac{\beta +2\gamma \omega }{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}=\frac{\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}-\tan \left(\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\right)}{1+\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\tan \left(\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\right)}\\ \beta +2\gamma \omega =\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0-\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}\tan \left(\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\right)}{1+\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\tan \left(\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\right)}\\ \omega =\frac{{\omega }_0+\frac{\beta }{2\gamma }-\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2\gamma }\tan \left(\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\right)}{1+\frac{\beta +2\gamma {\omega }_0}{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}\tan \left(\frac{\sqrt{4\gamma \alpha -{\beta }^2}}{2}t\right)}-\frac{\beta }{2\gamma }\end{array}}$

Cuando β=0, obtenemos la ecuación del modelo 5 (combinación de rozamiento constante y proporcional al cuadrado de la velocidad)

Ejemplo

Sean los coeficientes

• α=0.3
• β=0.1
• γ=0.05

La velocidad inicial de rotacion es ω₀=1 rad/s

Representamos la velocidad angular ω en función del tiempo para los tres primeros modelos

• Rozamiento constante
• Rozamiento proporcional a la velocidad angular
• Rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad angular

a=0.3;
b=0.1;
c=0.05;

w0=1;
hold on
f=@(t) w0-a*t;
fplot(f,[0,w0/a])
f=@(t) w0*exp(-b*t);
fplot(f,[0,10])
f=@(t) w0./(1+c*w0*t);
fplot(f,[0,10])
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega')
legend('\alpha','\beta\omega','\gamma\omega^2', 'Location','best')
title('Rozamiento en el movimiento de rotación')

Representamos la velocidad angular ω en función del tiempo para las combinaciones

• de rozamiento constante y proporcional a la velocidad angular
• de rozamiento constante y proporcional al cuadrado de la velocidad angular
• de rozamiento proporcional a la velocidad angular y al cuadrado de la velocidad
• de rozamiento constante, proporcional a la velocidad angular y al cuadrado de la velocidad

a=0.3;
b=0.1;
c=0.05;

w0=1;
hold on
f=@(t) (a/b+w0)*exp(-b*t)-a/b;
fplot(f,[0,2])
f=@(t) (w0-sqrt(a/c)*tan(sqrt(a*c)*t))./(1+w0*sqrt(c/a)*tan(sqrt(a*c)*t));
fplot(f,[0,2])
f=@(t) b*w0./((b+c*w0)*exp(b*t)-c*w0);
fplot(f,[0,2])
f=@(t) (w0+b/(2*c)-sqrt(4*c*a-b^2)*tan(sqrt(4*c*a-b^2)*t/2)/(2*c))./(1+(b+2*c*w0)*
tan(sqrt(4*c*a-b^2)*t/2)/sqrt(4*c*a-b^2))-b/(2*c);
fplot(f,[0,2])

hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega')
legend('\alpha+\beta\omega', '\alpha+\gamma\omega^2','\beta\omega+\gamma\omega^2',
'\alpha+\beta\omega+\gamma\omega^2', 'Location','best')
title('Rozamiento en el movimiento de rotación')

Referencias

Sherfinski J. A rotacional dynamics problem with friction and calculus. The Physics Teacher. Vol 39, March 2001, pp. 150-15

Pascal Klein, Andreas Müller, Sebastian Gröber, Alexander Molz, Jochen Kuhn. Rotational and frictional dynamics of the slamming of a door. Am. J. Phys. 85 (1), January 2017. pp. 30-37