El extremo P de una escalera de masa m y longitud L está apoyada en una pared vertical a una altura y sobre el suelo. Su extremo O desliza sobre el suelo con velocidad v₀ constante y dista x de la pared vertical. Se cumple que

x²+y²=L²  y tanθ=x/y

siendo θ el ángulo de la escalera con la dirección vertical

Si el extremo P se mueve con velocidad v_y, y el extremo O se mueve con velocidad v₀, la relación entre las velocidades es

${\displaystyle 2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0v_y=-v_0\tan \theta }$

Cuando θ se aproxima a 90º, v_y tiende a infinito, lo que no es una solución físicamente posible.

Movimiento de la escalera mientras está en contacto con la pared vertical

Las fuerzas sobre la escalera son:

• El peso mg que actúa en el centro de masas

• La fuerza F_p que ejerce la pared vertical

• La fuerza N que ejerce el suelo

• La fuerza horizontal F_o necesaria para que el extremo O se mueva con velocidad constante.

Se supone que las paredes son lisas, sin rozamiento

Calculamos los momentos respecto del eje que pasa por O, que está fijo en un sistema de referencia inercial que se mueve con velocidad v₀ con respecto a la pared. Aplicamos la ecuación de la dinámica de rotación

${\displaystyle I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{1}{2}mgL\text{sin}\theta -F_{p}L\cos \theta }$

Donde I es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por uno de sus extremos.

${\displaystyle I=\frac{1}{12}m{L}^2+m{\left(\frac{L}{2}\right)}^2=\frac{1}{3}m{L}^2}$

Mientras el extremo P de la escalera está en contacto con la pared vertical, la posición del extremo O es x=Lsinθ, como la velocidad de O es constante

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_0=\frac{d(L\text{sin}\theta )}{dt}=L\cos \theta \frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d{v}_0}{dt}=0=-L\text{sin}\theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+L\text{cos}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}\end{array}}$

Determinamos el ángulo θ que forma la escalera con la dirección vertical, en función del tiempo resolviendo la ecuación diferencial por procedimientos numéricos

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{\text{sin}\theta }{\cos \theta }{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{v_0^2\text{sin}\theta }{L^2{\cos }^3\theta }}$

Con las condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ₀, dθ/dt=v₀/(Lcos θ₀)

Despejamos la fuerza F_p, que ejerce la pared vertical sobre el extremo P de la escalera, de las dos ecuaciones diferenciales

${\displaystyle F_p=\frac{1}{2}mg\tan \theta \left(1-\frac{2v_0^2}{3gL{\cos }^3\theta }\right)}$

En la figura, podemos ver el comportamiento de F_p frente al ángulo θ para tres valores de v₀²/gL.

hold on
for p=[0.3,1.5,2]
    f=@(x) tan(x).*(1-2*p./(3*cos(x).^3))/2;
    fplot(f,[0,pi/3],'displayName',num2str(p))
end
hold off
grid on
ylim([-0.4,0.3])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('\theta')
ylabel('F_p/mg')
title('Reacción de la pared vertical')

1. Si v₀²/gL≥3/2, la fuerza F_p<0 y por tanto, el extremo P de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical desde el mismo momento t=0 en que el extremo O empieza a moverse con velocidad constante v₀.

2. Si v₀²/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical F_p>0, hasta un ángulo crítico θ_c tal que F_p=0.

${\displaystyle {\cos }^3{\theta }_c=\frac{2v_0^2}{3gL}}$

El extremo P estará a una altura y_c=L·cos θ_c sobre el suelo.

La velocidad de P será

${\displaystyle v_y=-v_0\tan {\theta }_c{v}_y=-v_0\sqrt{{\left(\frac{3gL}{2v_0^2}\right)}^{2/3}-1}}$

A partir del instante t=t_c en el que θ=θ_c, el extremo P deja de estar en contacto con la pared vertical.

Movimiento de la escalera cuando deja de estar en contacto con la pared vertical

El movimiento es similar al de la varilla que hemos estudiado en la página titulada "Caída de una varilla inclinada", salvo que el punto de contacto con el plano horizontal se mueve con velocidad constante v₀ en vez de estar fijo.

El momento respecto de O, con F_p=0 es mg(L/2)sinθ. La ecuación de la dinámica de rotación de la escalera es

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{3}{2}\frac{g}{L}\text{sin}\theta }$

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales: en el instante t=t_c, θ=θ_c, dθ/dt=v₀/(Lcos θ_c)

Ejemplos

• Angulo inicial que forma la escalera con la vertical, θ₀=30º=π/6 rad
• Velocidad constante de deslizamiento del extremo O que se apoya en el suelo, v₀ =1.7 m/s
• Masa de la escalera, m=1
• Longitud de la escalera, L=1

Como v₀²/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical F_p>0, hasta un ángulo crítico θ_c tal que F_p=0.

${\displaystyle {\cos }^3{\theta }_c=\frac{2v_0^2}{3gL}{\cos }^3{\theta }_c=\frac{2·{1.7}^2}{3·9.8·1}{\theta }_c=54.4º}$

La velocidad v_y del extremo P de la barra vale

v_y=-v₀·tanθ_c    v_y=-2.38 m/s

El extremo P de la barra se encuentra a una altura sobre el suelo

y_c=Lcos θ_c     y_c=0.58 m

Ejemplo 2:

• Angulo inicial que forma la escalera con la vertical, θ₀=30º=π/6 rad
• Velocidad constante de deslizamiento del extremo O que se apoya en el suelo, v₀ =3.5 m/s

Como v₀²/gL<3/2, el extremo P de la escalera permanece en contacto con la pared vertical F_p>0, hasta un ángulo crítico θ_c tal que F_p=0.

${\displaystyle {\cos }^3{\theta }_c=\frac{2v_0^2}{3gL}{\cos }^3{\theta }_c=\frac{2·{3.5}^2}{3·9.8·1}{\theta }_c=19.8º}$

Como el ángulo inicial θ₀ >θ_c es mayor que el ángulo crítico, la fuerza sobre el extremo P es nula desde el comienzo del movimiento de la escalera

Ejemplo 3:

• Angulo inicial que forma la escalera con la vertical, θ₀=30º=π/6 rad
• Velocidad constante de deslizamiento del extremo O que se apoya en el suelo, v₀ =4.0 m/s

Como v₀²/gL>3/2, el extremo P de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical cualquiera que sea el ángulo inicial θ₀

Actividades

Se introduce

• El ángulo inicial θ₀ que hace la escalera con la dirección vertical, en el control titulado Ángulo

• La velocidad constante v₀ con la que se mueve el extremo O de la barra en contacto con el suelo, en el control titulado Velocidad

• La masa de la barra se ha fijado en m=1 kg

• La longitud de la barra se ha fijado en L=1 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la barra, y en particular, nos fijamos en la fuerza horizontal F_p que ejerce la pared vertical sobre el extremo P de la barra y la comparamos con el peso mg que actúa en el centro de masas. Detenemos el movimiento cuando F_p se hace cero pulsando en los de botones || y >|. Anotamos el ángulo θ_c que hace la barra con la dirección vertical

Referencias

Freeman M., Palffy-Muhoray P. On mathematical and physical ladders. Am. J. Phys. 53 (3) March 1985, pp. 276-277.