Caída de un lápiz en posición vertical

Las fuerzas sobre el lápiz son:
-
El peso mg que actúa en el centro de masas
-
La reacción del suelo N que actúa en el punto de contacto
La posición del c.m. es
y=(l/2)cosθ
La velocidad del c.m. es
Ecuación del movimiento del centro de masas
Como las fuerzas son verticales, el centro de masas del lápiz permanece en reposo en la dirección horizontal
En el instante inicial, la posición de la punta, xO(0)=xcm-(l/2)sinθ0. Siendo θ0 el ángulo inicial de inclinación
En el instante t, la posición de la punta, xO(t)=xcm-(l/2)sinθ. Siendo θ el ángulo de inclinación en el instante t
Restando ambas ecuaciones, obtenemos el desplazamiento de la punta del lápiz, xO(t)-xO(0)=l(sinθ0-sinθ)/2, hacia la izquierda.
La ecuación del movimiento vertical del centro de masas es
que expresamos en términos del ángulo θ
La ecuación del movimiento de rotación alrededor del c.m. es
Donde es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud l respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.
Eliminando la reacción N de las ecuaciones, obtenemos una ecuación diferencial que se resuelve por procedimientos numéricos
con las condiciones iniciales: t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.
Una vez calculado el ángulo θ en el instante t, la altura y del c.m. vale y=(l/2)cosθ.
L=1; %longitud de la varilla x0=zeros(1,2); x0(1)=10*pi/180; %posición de partida x0(2)=0; k=3*9.8/(2*L); f=@(t,x) [x(2);(2*9.8/L-x(2)^2*cos(x(1)))*sin(x(1))/(1/3+sin(x(1))^2)]; tspan=[0 4]; opts=odeset('events',@varilla_ode45); [t,x,te]=ode45(f,tspan,x0, opts); plot(t,x(:,1)) set(gca,'YTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','pi/3','5\pi/12' ,'\pi/2'}) text(0.1,pi/2-0.2,num2str(te)) %tiempo de caída grid on xlabel('t') ylabel('\theta'); title('Posición angular en función del tiempo')
Definimos una función para que el proceso de integración se detenga cuando la posición de la varilla sea π/2
function [detect,stopin,direction]=varilla_ode45(t,x) detect=x(1)-pi/2; stopin=1; direction=1; end
Aproximación
Cuando el lápiz está en posición casi vertical, el ángulo θ es pequeño, y la velocidad dθ/dt es pequeña, la ecuación diferencial se puede escribir
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.
θ=θ0·cosh(k·t)
Si kt es grande, el coseno hiperbólico se puede aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, despejamos el tiempo t.
Por ejemplo si l=1 m, θ0=0.0001 rad y θ=0.1 rad, el tiempo t=0.99 s.
Balance energético
La energía cinética del lápiz es la suma de la energía de cinética de rotación alrededor del c.m. más la energía de traslación del c.m.
La energía potencial del c.m. es
Ep=mgy=mg(l/2)cosθ
La suma de ambas contribuciones es la energía total, que es la energía potencial inicial del lápiz
Derivando con respecto del tiempo,
despejamos d2θ/dt2 y volvemos a obtener de nuevo la ecuación del movimiento.
En la posición final θ=π/2, la energía potencial del c.m. es nula, y la energía cinética se reparte del siguiente modo:
-
una cuarta parte para la energía cinética de rotación
-
tres cuartas partes para la de traslación del c.m.
Tiempo que tarda el lápiz en caer
En la ecuación de la conservación de la energía, despejamos dθ/dt
Utilizamos la función
Representamos en el eje X, los ángulos iniciales θ0 y en el eje Y, los tiempos T(θ0)
L=1; %longitud del lápiz ang=linspace(5, 89, 80)*pi/180; i=1; T=zeros(1,length(ang)); for th_0=ang %ángulos iniciales f=@(x) sqrt((1/3+sin(x).^2)./(cos(th_0)-cos(x))); T(i)=integral(f,th_0,pi/2)*sqrt(L/9.8)/2; i=i+1; end plot(ang, T) set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'}) ylabel('T (s)') grid on title('Tiempo en caer')
Reacción N en el punto de apoyo
A partir de la ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. y del principio de conservación de la energía, despejamos la reacción N de la punta del lápiz
Representamos la reacción N/(mg) de la punta de un lápiz inicialmente inclinado un ángulo θ0=π/6
th_0=pi/6; f=@(x) (4+3*cos(x).^2-6*cos(th_0)*cos(x))./(4-3*cos(x).^2).^2; fplot(f,[th_0,pi/2]) set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3', '5\pi/12','\pi/2'}) grid on ylim([0,1]) xlabel('\theta') ylabel('N/(mg)') title('Reacción en la punta del lápiz')
Actividades
Se introduce
- El ángulo θ0 que forma el lápiz con la vertical en el instante inicial t=0, en el control titulado Ángulo
- La masa de la barra se ha fijado en m=1 kg
- La longitud de la barra se ha fijado en l=1 m
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Observamos el movimiento del lápiz. En la parte derecha, tenemos un diagrama que nos muestra como van cambiando los distintos tipos de energía a medida que cae el lápiz
- la energía potencial, en color azul
- la energía cinética de rotación, en color rosa
- la energía cinética de traslación del c.m,. en color rojo
Ecuación de Lagrange
La lagrangiana es
La ecuación del movimiento es
Despejando la aceleración angular, obtenemos la misma ecuación diferencial
Referencias
Crawford F. S. Problem: Moments to remember. Am. J. Phys. 57 (2) February 1989, pp. 105, solución 177