Las fuerzas sobre el lápiz son:

• El peso mg que actúa en el centro de masas

• La reacción del suelo N que actúa en el punto de contacto

La posición del c.m. es

y=(l/2)cosθ 

La velocidad del c.m. es

${\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{l}{2}\frac{d\theta }{dt}\text{sin}\theta }$

Ecuación del movimiento del centro de masas

Como las fuerzas son verticales, el centro de masas del lápiz permanece en reposo en la dirección horizontal

• En el instante inicial, la posición de la punta, x_O(0)=x_cm-(l/2)sinθ₀. Siendo θ₀ el ángulo inicial de inclinación

• En el instante t, la posición de la punta, x_O(t)=x_cm-(l/2)sinθ. Siendo θ el ángulo de inclinación en el instante t

Restando ambas ecuaciones, obtenemos el desplazamiento de la punta del lápiz, x_O(t)-x_O(0)=l(sinθ₀-sinθ)/2, hacia la izquierda.

La ecuación del movimiento vertical del centro de masas es

${\displaystyle m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=N-mg}$

que expresamos en términos del ángulo θ

${\displaystyle -m\frac{l}{2}\cos \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-m\frac{l}{2}\text{sin}\theta \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=N-mg}$

La ecuación del movimiento de rotación alrededor del c.m. es

${\displaystyle I_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=N\frac{l}{2}\text{sin}\theta }$

Donde $I_c=\frac{1}{12}m{l}^2$ es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud l respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.

Eliminando la reacción N de las ecuaciones, obtenemos una ecuación diferencial que se resuelve por procedimientos numéricos

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{\left(\frac{2g}{l}-{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\cos \theta \right)\text{sin}\theta }{\frac{1}{3}+{\text{sin}}^2\theta }}$

con las condiciones iniciales: t=0, θ= θ₀, dθ/dt=0.

Una vez calculado el ángulo θ en el instante t, la altura y del c.m. vale y=(l/2)cosθ.

L=1; %longitud de la varilla
x0=zeros(1,2);
x0(1)=10*pi/180;  %posición de partida
x0(2)=0;
k=3*9.8/(2*L);
f=@(t,x) [x(2);(2*9.8/L-x(2)^2*cos(x(1)))*sin(x(1))/(1/3+sin(x(1))^2)]; 
tspan=[0 4];
opts=odeset('events',@varilla_ode45);
[t,x,te]=ode45(f,tspan,x0, opts);

plot(t,x(:,1))
set(gca,'YTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','pi/3','5\pi/12'
,'\pi/2'})
text(0.1,pi/2-0.2,num2str(te)) %tiempo de caída
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Posición angular en función del tiempo')

Definimos una función para que el proceso de integración se detenga cuando la posición de la varilla sea π/2

function [detect,stopin,direction]=varilla_ode45(t,x)
    detect=x(1)-pi/2; 
    stopin=1;
    direction=1; 
end

Aproximación

Cuando el lápiz está en posición casi vertical, el ángulo θ es pequeño, y la velocidad dθ/dt es pequeña, la ecuación diferencial se puede escribir

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{6g}{l}\theta }$

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

${\displaystyle \theta =A\exp (-kt)+B\exp (kt)k=\sqrt{\frac{6g}{l}}}$

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales t=0, θ= θ₀, dθ/dt=0.

θ=θ₀·cosh(k·t)

Si kt es grande, el coseno hiperbólico se puede aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, despejamos el tiempo t.

${\displaystyle t=\sqrt{\frac{l}{6g}}\ln \frac{2\theta }{{\theta }_0}}$

Por ejemplo si l=1 m, θ₀=0.0001 rad y θ=0.1 rad, el tiempo t=0.99 s.

Balance energético

La energía cinética del lápiz es la suma de la energía de cinética de rotación alrededor del c.m. más la energía de traslación del c.m.

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}{I}_c{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}m{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=\frac{1}{8}m{l}^2\left(\frac{1}{3}+{\text{sin}}^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2}$

La energía potencial del c.m. es

E_p=mgy=mg(l/2)cosθ

La suma de ambas contribuciones es la energía total, que es la energía potencial inicial del lápiz

${\displaystyle \frac{1}{8}m{l}^2\left(\frac{1}{3}+{\text{sin}}^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{1}{2}mgl\cos \theta =\frac{1}{2}mgl\cos {\theta }_0}$

Derivando con respecto del tiempo,

${\displaystyle \frac{1}{8}m{l}^2\left(2\text{sin}\theta \cos \theta \frac{d\theta }{dt}\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2+\frac{1}{8}m{l}^2\left(\frac{1}{3}+{\text{sin}}^2\theta \right)2\frac{d\theta }{dt}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}-\frac{1}{2}mgl\text{sin}\theta \frac{d\theta }{dt}=0}$

despejamos d²θ/dt² y volvemos a obtener de nuevo la ecuación del movimiento.

En la posición final θ=π/2, la energía potencial del c.m. es nula, y la energía cinética se reparte del siguiente modo:

• una cuarta parte para la energía cinética de rotación

• tres cuartas partes para la de traslación del c.m.

Tiempo que tarda el lápiz en caer

En la ecuación de la conservación de la energía, despejamos dθ/dt

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\frac{\cos {\theta }_0-\cos \theta }{1/3+{\sin }^2\theta }}\\ T=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}{\displaystyle \underset{{\theta }_0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\frac{1/3+{\sin }^2\theta }{\cos {\theta }_0-\cos \theta }}}d\theta \end{array}}$

Utilizamos la función integral de MATLAB para calcular el tiempo que tarda en caer un lápiz de longitud l=1, inclinado inicialmente un ángulo θ₀.

Representamos en el eje X, los ángulos iniciales θ₀ y en el eje Y, los tiempos T(θ₀)

L=1; %longitud del lápiz
ang=linspace(5, 89, 80)*pi/180;
i=1;
T=zeros(1,length(ang));
for th_0=ang %ángulos iniciales
    f=@(x) sqrt((1/3+sin(x).^2)./(cos(th_0)-cos(x)));
    T(i)=integral(f,th_0,pi/2)*sqrt(L/9.8)/2;
    i=i+1;
end
plot(ang, T)
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3','5\pi/12','\pi/2'})
ylabel('T (s)')
grid on
title('Tiempo en caer')

Reacción N en el punto de apoyo

A partir de la ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. y del principio de conservación de la energía, despejamos la reacción N de la punta del lápiz

${\displaystyle \frac{N}{mg}=\frac{4+3{\cos }^2\theta -6\cos {\theta }_0\cos \theta }{{\left(4-3{\cos }^2\theta \right)}^2}}$

Representamos la reacción N/(mg) de la punta de un lápiz inicialmente inclinado un ángulo θ₀=π/6

th_0=pi/6;
f=@(x) (4+3*cos(x).^2-6*cos(th_0)*cos(x))./(4-3*cos(x).^2).^2;
fplot(f,[th_0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','\pi/3', '5\pi/12','\pi/2'})
grid on
ylim([0,1])
xlabel('\theta')
ylabel('N/(mg)')
title('Reacción en la punta del lápiz')

Actividades

Se introduce

• El ángulo θ₀ que forma el lápiz con la vertical en el instante inicial t=0, en el control titulado Ángulo
• La masa de la barra se ha fijado en m=1 kg
• La longitud de la barra se ha fijado en l=1 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento del lápiz. En la parte derecha, tenemos un diagrama que nos muestra como van cambiando los distintos tipos de energía a medida que cae el lápiz

• la energía potencial, en color azul
• la energía cinética de rotación, en color rosa
• la energía cinética de traslación del c.m,. en color rojo

Ecuación de Lagrange

La lagrangiana es

${\displaystyle L=E_k-E_p=\frac{1}{8}m{l}^2\left(\frac{1}{3}+{\sin }^2\theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-mg\frac{l}{2}\cos \theta }$

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \theta }=0\\ \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{4}m{l}^2\left(\frac{1}{3}+{\sin }^2\theta \right)\frac{d\theta }{dt}\right)-\frac{1}{8}m{l}^2\left(2\sin \theta \cos \theta \right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\frac{1}{2}mgl\sin \theta =0\\ \frac{1}{4}m{l}^2\left(\frac{1}{3}+{\sin }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{1}{4}m{l}^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\sin \theta \cos \theta -\frac{1}{2}mgl\sin \theta =0\end{array}}$

Despejando la aceleración angular, obtenemos la misma ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{\left(2\frac{g}{l}-{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\cos \theta \right)\sin \theta }{\frac{1}{3}+{\sin }^2\theta }}$

Referencias

Crawford F. S. Problem: Moments to remember. Am. J. Phys. 57 (2) February 1989, pp. 105, solución 177