Caída de un lápiz en posición vertical

Las fuerzas sobre el lápiz son:

La posición del c.m. es

y=(L/2)cosθ 

La velocidad del c.m. es

dy dt = L 2 dθ dt sinθ

Ecuación del movimiento del centro de masas

m d 2 y d t 2 =Nmg

que expresamos en términos del ángulo θ

m L 2 cosθ ( dθ dt ) 2 m L 2 sinθ d 2 θ d t 2 =Nmg

La ecuación del movimiento de rotación alrededor del c.m. es

I c d 2 θ d t 2 =N L 2 sinθ

Donde I c = 1 12 m L 2 es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.

Eliminando la reacción N de las ecuaciones, obtenemos una ecuación diferencial que se resuelve por procedimientos numéricos

d 2 θ d t 2 = ( 2g L ( dθ dt ) 2 cosθ )sinθ 1 3 + sin 2 θ

con las condiciones iniciales: t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.

Una vez calculado el ángulo θ en el instante t, la altura y del c.m. vale y=(L/2)cosθ.

L=1; %longitud de la varilla
x0=zeros(1,2);
x0(1)=10*pi/180;  %posición de partida
x0(2)=0;
k=3*9.8/(2*L);
f=@(t,x) [x(2);(2*9.8/L-x(2)^2*cos(x(1)))*sin(x(1))/(1/3+sin(x(1))^2)]; 
tspan=[0 4];
opts=odeset('events',@varilla_ode45);
[t,x,te]=ode45(f,tspan,x0, opts);

plot(t,x(:,1))
set(gca,'YTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/12','\pi/6','\pi/4','pi/3','5\pi/12'
,'\pi/2'})
text(0.1,pi/2-0.2,num2str(te)) %tiempo de caída
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta');
title('Posición angular en función del tiempo')

Definimos una función para que el proceso de integración se detenga cuando la posición de la varilla sea π/2

function [detect,stopin,direction]=varilla_ode45(t,x)
    detect=x(1)-pi/2; 
    stopin=1;
    direction=1; 
end

Aproximación

Cuando el lápiz está en posición casi vertical, el ángulo θ es pequeño, y la velocidad dθ/dt es pequeña, la ecuación diferencial se puede escribir

d 2 θ d t 2 = 6g L θ

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

θ=Aexp(kt)+Bexp(kt)k= 6g L

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales t=0, θ= θ0, dθ/dt=0.

θ=θ0·cosh(k·t)

Si kt es grande, el coseno hiperbólico se puede aproximar a cosh(kt)≈exp(kt)/2, despejamos el tiempo t.

t= L 6g ln 2θ θ 0

Por ejemplo si L=1 m, θ0=0.0001 rad y θ=0.1 rad, el tiempo t=0.99 s.

Balance energético

La energía cinética del lápiz es la suma de la energía de cinética de rotación alrededor del c.m. más la energía de traslación del c.m.

E k = 1 2 I c ( dθ dt ) 2 + 1 2 m ( dy dt ) 2 = 1 8 m L 2 ( 1 3 + sin 2 θ ) ( dθ dt ) 2

La energía potencial del c.m. es

Ep=mgy=mg(L/2)cosθ

La suma de ambas contribuciones es la energía total, que es la energía potencial inicial del lápiz

1 8 m L 2 ( 1 3 + sin 2 θ ) ( dθ dt ) 2 + 1 2 mgLcosθ= 1 2 mgLcos θ 0

Derivando con respecto del tiempo,

1 8 m L 2 ( 2sinθcosθ dθ dt ) ( dθ dt ) 2 + 1 8 m L 2 ( 1 3 + sin 2 θ )2 dθ dt d 2 θ d t 2 1 2 mgLsinθ dθ dt =0

despejamos d2θ/dt2 y volvemos a obtener de nuevo la ecuación del movimiento.

En la posición final θ=π/2, la energía potencial del c.m. es nula, y la energía cinética se reparte del siguiente modo:

Actividades

Se introduce

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Observamos el movimiento del lápiz. En la parte derecha, tenemos un diagrama que nos muestra como van cambiando los distintos tipos de energía a medida que cae el lápiz

Referencias

Crawford F. S. Problem: Moments to remember. Am. J. Phys. 57 (2) February 1989, pp. 105, solución 177