Escalera apoyada en dos paredes perpendiculares por la que sube una persona.

Estática

Las fuerzas sobre la escalera son las que se dibujan en la figura.

Cuando la escalera forma un ángulo θ con la vertical las ecuaciones de equilibrio son:

La resultante de la fuerzas debe ser cero.

F x = F r N=mg+Mg

El momento de las fuerzas respecto de cualquier punto (por ejemplo el extremo inferior de la escalera) es cero.

F x Lcosθ+mg L 2 sinθ+Mgdsinθ=0

Conocido el ángulo θ, despejamos la fuerza de rozamiento Fr que sujeta el extremo inferior de la escalera.

F r = mL/2+Md L gtanθ

A medida asciende el hombre por los peldaños de la escalera, se incrementa d, la fuerza de rozamiento aumenta. Alcanza su valor máximo cuando

FrsN= μs(mg+Mg)

Donde μs es el coeficiente estático de rozamiento

El valor máximo del desplazamiento dm del hombre a lo largo de la escalera es

d m =L( μ s (m+M) Mtanθ m 2M )

Dinámica

La posición del centro de masas del sistema formado por el hombre y la escalera se encuentra a una distancia xc medida desde el extremo inferior de la escalera

x c = M d m +mL/2 m+M

Aplicando el teorema de Steiner calculamos el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masas

I c = 1 12 m L 2 +m ( L 2 x c ) 2 +M ( x c d m ) 2

La fuerza de rozamiento Fr=μN en el extremo inferior de la escalera disminuye ligeramente, ya que el coeficiente cinético μ suele ser menor que el estático μs

El movimiento de la escalera consta de dos etapas:

1.- El extremo superior de la escalera permanece en contacto con la pared vertical

Movimiento de traslación del cm.

(m+M) d 2 x d t 2 = F x μN (m+M) d 2 y d t 2 =NmgMg

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

I c d 2 θ d t 2 =N x c sinθ F x (L x c )cosθμN x c cosθ+mg( L 2 x c )sinθ Mg( x c d m )sinθ I c d 2 θ d t 2 =( x c sinθμ x c cosθ)N F x (L x c )cosθ+mg( L 2 x c )sinθ Mg( x c d m )sinθ

La posición del centro de masas es (x, y). Mientras el extremo superior de la barra está apoyada en la pared vertical Fx>0, hay una relación entre x, y y el ángulo θ.

x=(L x c )sinθy= x c cosθ

Derivamos dos veces respecto del tiempo

dx dt =(L x c )cosθ dθ dt d 2 x d t 2 =(L x c ){ sinθ ( dθ dt ) 2 +cosθ d 2 θ d t 2 } dy dt = x c sinθ dθ dt d 2 y d t 2 = x c { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Despejamos Fx y N en las ecuaciones del movimiento del c.m.

N=(m+m){ g x c cosθ ( dθ dt ) 2 x c sinθ d 2 θ d t 2 } F x =(m+M){ μg+( (L x c )cosθμ x c sinθ ) d 2 θ d t 2 ( (L x c )sinθ+μ x c cosθ ) ( dθ dt ) 2 }

Introducimos N, Fx en la ecuación de la dinámica de rotación. Obtenemos la ecuación diferencial

A d 2 θ d t 2 =B ( dθ dt ) 2 +C A= I c +(m+M){ x c 2 sin 2 θμL x c sinθcosθ+ (L x c ) 2 cos 2 θ } B=(m+M){ x c 2 sinθcosθ+μL x c cos 2 θ+ (L x c ) 2 sinθcosθ } C=mg L 2 sinθ+Mg d m sinθμ(m+M)gLcosθ

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: En el instante t=0, dθ/dt=0, θ=θ0.

Observamos que la fuerza horizontal que ejerce la pared vertical Fx va disminuyendo hasta que se hace cero en el instante t1. El ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1  y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1.

La velocidad horizontal del centro de masas es

( dx dt ) 1 =(L x c )cos θ 1 ( dθ dt ) 1

2.- El extremo superior de la escalera deja de estar en contacto con la pared vertical

Las ecuaciones del movimiento son

Movimiento de traslación del centro de masas

m d 2 x d t 2 =μN m d 2 y d t 2 =NmgMg

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

I c d 2 θ d t 2 =N x c sinθμN x c cosθ+mg( L 2 x c )sinθMg( x c d m )sinθ

La ordenada y del centro de masas es

 y= x c cosθ

Derivamos dos veces respecto del tiempo

dy dt = x c sinθ dθ dt d 2 y d t 2 = x c { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 }

Despejamos la reacción N

N=(m+m){ g x c cosθ ( dθ dt ) 2 x c sinθ d 2 θ d t 2 }

Introducimos la expresión de N en la ecuación de la dinámica de rotación y en la de traslación del c.m.

Obtenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

d 2 x d t 2 =g x c { cosθ ( dθ dt ) 2 +sinθ d 2 θ d t 2 } A d 2 θ d t 2 =B ( dθ dt ) 2 +C A= I c +(m+M) x c 2 { sinθμcosθ }sinθ B=(m+M) x c 2 { sinθμcosθ }cosθ C=mg L 2 sinθ+Mg d m sinθμ(m+M)g x c cosθ

Se resuelve este sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t1, el ángulo que forma la escalera con la vertical es θ1 y la velocidad angular de rotación es (dθ/dt)1. y la velocidad horizontal del centro de masas es

( dx dt ) 1 =(L x c )cos θ 1 ( dθ dt ) 1

Se detiene el movimiento cuando la escalera forma un ángulo θ=π/2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

La escalera permanece en equilibrio

En caso contrario, observamos el movimiento del sistema formado por la escalera y una masa puntual y las fuerzas sobre la misma.