Las fuerzas que actúan sobre la tabla son:

• El peso, mg
• La fuerza que ejerce la mesa sobre la tabla, la fuerza normal N
• La fuerza de rozamiento entre el borde de la mesa y la tabla, F_r

El peso actuando en el centro de masas proporciona el momento que provoca el movimiento de rotación, mientras que la fuerza de rozamiento evita el deslizamiento de la tabla hasta el momento que alcanza un ángulo crítico. A partir de ese momento, la tabla desliza sobre el borde, hasta que la reacción N se hace cero. Finalmente, la tabla cae bajo la acción de su peso. Calcularemos para esta etapa del movimiento la velocidad inicial del centro de masas y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m..

Coordenadas polares

Para estudiar el movimiento de la tabla utilizaremos las coordenadas polares. La posición de una partícula es (x, y) en coordenadas rectangulares y (r, θ) en coordenadas polares. La relación es

x=r·cosθ, y=r·sinθ

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\widehat{r}\frac{dr}{dt}+r\frac{d\widehat{r}}{dt}}$

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios $\widehat{r}$ y $\widehat{\theta }$

${\displaystyle \begin{array}{l}\widehat{r}=\widehat{i}\cos \theta +\widehat{j}\sin \theta \hfill \\ \widehat{\theta }=-\widehat{i}\sin \theta +\widehat{j}\cos \theta \hfill \end{array}}$

vemos que

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\widehat{r}}{dt}=(-\widehat{i}\sin \theta +\widehat{j}\cos \theta )\frac{d\theta }{dt}=\widehat{\theta }\frac{d\theta }{dt}\hfill \\ \frac{d\widehat{\theta }}{dt}=(-\widehat{i}\cos \theta -\widehat{j}\sin \theta )\frac{d\theta }{dt}=-\widehat{r}\frac{d\theta }{dt}\hfill \end{array}}$

La dirección del vector velocidad es tangente a la trayectoria. Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son

${\displaystyle \overrightarrow{v}=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+r\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }}$

Las componentes del vector aceleración son:

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\widehat{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\widehat{r}}{dt}+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }+r\frac{d\theta }{dt}\frac{d\widehat{\theta }}{dt}=\hfill \\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}\widehat{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{r}=\hfill \\ \left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)\widehat{r}+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }\hfill \end{array}}$

Para describir el movimiento de la tabla adoptamos el sistema de referencia mostrado en la figura, con el eje Y apuntando hacia abajo.

Primera etapa del movimiento

Movimiento de rotación alrededor del borde, la distancia r del c.m.de la tabla al bode se mantiene constante e igual a la distancia inicial r₀.

Las ecuaciones del movimiento en la dirección radial $\widehat{r}$ y en la dirección $\widehat{\theta }$ son, respectivamente,

${\displaystyle \begin{array}{l}-m{r}_0{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=mg\sin \theta -F_r\\ m{r}_0\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=mg\cos \theta -N\end{array}}$

La ecuación de la dinámica de rotación alrededor del eje fijo O que pasa por el borde de la mesa, es

${\displaystyle I_O\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=mg{r}_0\cos \theta I_O=\frac{1}{12}m{L}^2+m{r}_0^2}$

Integramos esta ecuación, con las condiciones iniciales siguientes: r=r₀, θ=0, ω=dθ/dt=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\omega }{dt}=\frac{mg{r}_0\cos \theta }{I_O}\\ \frac{d\omega }{d\theta }\frac{d\theta }{dt}=\frac{mg{r}_0\cos \theta }{I_O}\omega \frac{d\omega }{d\theta }=\frac{mg{r}_0\cos \theta }{I_O}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\omega }{\int }}\omega ·d\omega =}\frac{mg{r}_0}{I_O}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\cos \theta ·d\theta }\\ \frac{1}{2}{\omega }^2=\frac{mg{r}_0}{I_O}\sin \theta \\ \left(\frac{d\theta }{dt}\right)=\sqrt{\frac{2mg{r}_0}{I_O}\sin \theta }\end{array}}$

Calculamos la reacción del borde N y la fuerza de rozamiento F_r

${\displaystyle \begin{array}{l}N=mg\cos \theta \left(1-\frac{m{r}_0^2}{I_O}\right)=\frac{L^2}{L^2+12r_0^2}mg\cos \theta \\ F_r=mg\sin \theta \left(1+\frac{2m{r}_0^2}{I_O}\right)=\frac{L^2+36r_0^2}{L^2+12r_0^2}mg\sin \theta \end{array}}$

La fuerza de rozamiento F_r va creciendo a medida que se incrementa el ángulo θ, hasta que alcanza el valor máximo μ_sN momento en el que la tabla empieza a deslizar sobre el borde. μ_s es el coeficiente estático de rozamiento. El ángulo crítico θ₁ para el cual F_r= μ_sN es

${\displaystyle \tan {\theta }_1={\mu }_s\frac{L^2}{L^2+36r_0^2}}$

Para calcular el ángulo que gira la tabla en función del tiempo hay que resolver la ecuación diferencial por procedimientos numéricos

${\displaystyle \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{mg{r}_0\cos \theta }{I_O}}$

con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=0, dθ/dt=0. Se termina la primera etapa del movimiento en el instante t₁ cuando la tabla forma un ángulo θ₁ por debajo de la horizontal y lleva una velocidad angular.

${\displaystyle {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_1=\sqrt{\frac{2mg{r}_0}{I_O}\sin {\theta }_1}=\sqrt{\frac{24g{r}_0}{L^2+12r_0^2}\sin {\theta }_1}}$

Ejemplo.

• Sea una tabla de L=10.2 cm
• El coeficiente de rozamiento estático es μ_s=0.3
• El centro de masas está inicialmente a una distancia r₀= 0.55 cm del borde de la mesa

El ángulo girado por la tabla al concluir la primera etapa del movimiento y la velocidad angular de rotación valen, respectivamente,

${\displaystyle \begin{array}{l}\tan {\theta }_1=0.3\frac{{0.102}^2}{{0.102}^2+36·{0.0055}^2}{\theta }_1=15.2º\\ {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_1=\sqrt{\frac{24·9.8·0.0055}{{0.102}^2+12·{0.0055}^2}\sin {\theta }_1}=5.61\text{rad/s}\end{array}}$

Segunda etapa del movimiento

En este caso, la distancia r del borde de la mesa al c.m. de la tabla cambia con el tiempo. La tabla continuará girando.

Las ecuaciones del movimiento en la dirección radial $\widehat{r}$ y en la dirección $\widehat{\theta }$ son, respectivamente,

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)=mg\sin \theta -F_r\\ m\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)=mg\cos \theta -N\end{array}}$

La ecuación de la dinámica de rotación respecto al eje que pasa por el punto O no es correcta ya que ha dejado de estar en reposo respecto de un sistema de referencia inercial, tendremos que usar la ecuación

${\displaystyle I_c\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=N·r{I}_c=\frac{1}{12}m{L}^2}$

referida al eje que pasa por el c.m.que es válida incluso si el centro de masas (c.m.) no está en reposo con relación al sistema inercial.

Como la tabla está deslizando, la relación entre la fuerza de rozamiento y la fuerza normal es

F_r=μ_k·N

Donde μ_k es el coeficiente cinético de rozamiento

En el sistema de ecuaciones despejamos d²r/dt² y d²θ/dt²

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\frac{12r}{L^2+12r^2}\left(g\cos \theta -2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=g\sin \theta +r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\frac{{\mu }_k{L}^2}{L^2+12r^2}\left(g\cos \theta -2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\end{array}}$

Resolvemos este sistema de ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=t₁, r=r₀, dr/dt=0, y

${\displaystyle {\theta }_1=\arctan \left({\mu }_s\frac{L^2}{L^2+36r_0^2}\right){\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_1=\sqrt{\frac{24g{r}_0}{L^2+12r_0^2}\sin {\theta }_1}}$

Vigilamos el valor de la fuerza normal N

${\displaystyle N=\frac{m{L}^2}{12r}\frac{d^2\theta }{d{t}^2}}$

Cuando la fuerza normal N sea nula, en el instante t₂, la posición del c.m. en coordenadas polares es (r₂, θ₂) y sus velocidades son (dr/dt)₂ y (dθ/dt)₂

Las componentes rectangulares de la velocidad del c.m. son:

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_r\cos {\theta }_2-v_{\theta }\sin {\theta }_2={\left(\frac{dr}{dt}\right)}_2\cos {\theta }_2-r_2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_2\sin {\theta }_2\\ v_{0y}=v_r\sin {\theta }_2+v_{\theta }\cos {\theta }_2={\left(\frac{dr}{dt}\right)}_2\sin {\theta }_2+r_2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_2\cos {\theta }_2\end{array}}$

La velocidad angular final de rotación de la tabla alrededor de un eje que pasa por el c.m. es (dθ/dt)₂

Tercera etapa del movimiento

A partir del instante t₂, la tabla cae libremente bajo la acción del peso actuando en el c.m. El c.m. de la tabla describe un movimiento parabólico, a la vez que la tabla gira con velocidad angular constante alrededor de un eje que pasa por el c.m.

${\displaystyle \begin{array}{l}x=r_2·\cos {\theta }_2+v_{0x}(t-t_2)\\ y=r_2·\sin {\theta }_2+v_{0y}(t-t_2)+\frac{1}{2}g{\left(t-t_2\right)}^2\\ \theta ={\theta }_2+{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}_2(t-t_2)\end{array}}$

Actividades

Se introduce

• La distancia inicial r₀ entre el centro de masas y el borde de la mesa, en el control titulado Distancia.
• El coeficiente de rozamiento, μ_k= μ_s en el control titulado Coef. rozamiento
• La longitud de la tabla se ha fijado en L=10.2 cm
• Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos las tres etapas del movimiento de la tabla:

1. Rotación alrededor de un eje que pasa por el borde de la mesa hasta el instante t₁ tal que θ=θ₁.
2. Deslizamiento de la tabla a lo largo del borde, hasta el instante t₂ en el que N=0
3. Caída libre, el c.m. sigue una trayectoria parabólica a la vez que la tabla describe un movimiento de rotación con velocidad angular constante alrededor de un eje que pasa por el c.m.

El programa nos proporciona, los datos de la posición del c.m. y de la velocidad angular de rotación

Referencias

Steinert D. It’s not Murphy’s law, it’s Newton’s. The Physics Teacher Vol 34, May 1996, pp. 288-289

Bacon M. E., Heald G., James M. A closer look at tumbling toast. Am. J. Phys. 69 (1) January 2001, pp. 38-43