Oscilaciones de un semicilindro

En la figura, se muestra un semicilindro macizo en la posición de equilibrio (en color azul) y su posición en el instante t (en color rojo) cuando ha rodado sin deslizar hacia la izquierda. Ha girado un ángulo θ y su centro se ha desplazado , siendo R el radio del cilindro

Para dibujar, parte de la figura se ha elaborado el siguiente script

hold on
fplot(@(x) cos(x), @(x) sin(x),[pi,2*pi],'color','b')
line([-1,1],[0,0],'color','b')
line([0,0],[-1,0],'color','k', 'lineStyle','--')
plot(0,-2/pi,'ko','markersize',3,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k')

th=pi/12;
fplot(@(x) cos(x)-th, @(x) sin(x),[pi+th,2*pi+th], 'color','r')
line([-cos(th),cos(th)]-th,[-sin(th),sin(th)],'color','r')
line([-1,1],[-1,-1],'color','k')
line([0,0]-th,[-1,0],'color','k', 'lineStyle','--')

plot(2*sin(th)/pi-th,-2*cos(th)/pi,'ko','markersize',3,
'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k')
line([0,2*sin(th)/pi]-th,[0,-2*cos(th)/pi],'color','k', 'lineStyle','--')

hold off
axis equal
axis off

En esta página, vamos a formular las ecuaciones del movimiento, utilizando la ecuación

M cm = d L cm dt

que es válida incluso si el centro de masas (c.m.) no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia

Centro de masas de un cuerpo en forma de semicilindro

Semicilindro hueco

Consideremos una lámina doblada en forma cilíndrica de masa m y radio R. Dicha lámina tiene el mismo centro de masas, que un arco semicircular de radio R

Consideremos un elemento diferencial de arco, comprendido entre θ y θ+dθ, de longitud R·dθ, cuya altura es y=Rsinθ

Por simetría, el centro de masas se encuentra en el eje Y, a la altura rc

r c = 0 π y(R·dθ) 0 π R·dθ = 0 π R 2 sinθ·dθ 0 π R·dθ = 2R π

Semicilindro macizo

Si el semicilindro es macizo, el centro de masas estará sobre el eje Y a una altura menor. El semicilindro tiene el mismo centro de masas que una lámina semicircular

Tomamos un elemento diferencial de área, un rectángulo horizontal de longitud 2x y anchura dy que se encuentra a una altura y

r c = 0 R y(2x·dy) 0 R 2x·dy

El denominador es el área de un semicírculo πR2/2. Para calcular el numerador, relacionamos las variables x e y a través de la ecuación de la circunferencia, x2+y2=R2

0 R R 2 y 2 (2ydy)= ( R 2 y 2 ) 3/2 3 2 | 0 R = 2 3 R 3 r c = 2 3 R 3 π R 2 2 = 4 3 R π

Momento de inercia de un cuerpo en forma de semicilindro

Semicilindro hueco

El momento de inercia de una masa m situada a una distancia R del eje de rotación (eje del cilindro)

I O =m R 2

Semicilindro macizo

El momento de inercia del semicilindro macizo respecto del eje del cilindro, se calcula de la misma forma que la de un cilindro macizo o un disco, repecto de un eje perpendicular que pasa por el centro

Tomamos un elemento diferencial de área comprendido entre r y r+dr cuya área es (πr)dr

I O = m π R 2 2 0 R r 2 ( πr·dr ) = 1 2 m R 2

Ecuaciones del movimiento

En la figura, observamos la posición del semicilindro en la situación de equilibrio (en color azul) y en el instante t cuando ha rodado hacia la izquierda. Se ha desplazado y ha girado un ángulo θ

Representamos las fuerzas sobre el semicilindro

Las ecuaciones del movimiento son

Conservación de la energía

La energía cinética es la suma de dos términos: la energía cinética del movimiento de traslación del c.m. y la energía cinética del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

Tomando el origen como nivel cero de energía potencial, la energía potencial del c.m. es -mgrccosθ

La energía del semicilindro en el instante t es la suma de ambas contribuciones

E= 1 2 m( ( d x c dt ) 2 + ( d y c dt ) 2 )+ 1 2 I c ( dθ dt ) 2 mg r c cosθ E= 1 2 ( I O +m R 2 2mR r c cosθ ) ( dθ dt ) 2 mg r c cosθ

Comprobamos que la energía E/(mR2) se mantiene casi constante

>> E0=-9.8*rc*cos(pi/6)/(R*R)
E0 =   -5.4030
>> E=(I0/(R*R)+1-2*rc*cos(x(:,1))/R).*x(:,2).^2/2-9.8*rc*cos(x(:,1))/(R*R)
E =
   -5.4030
   -5.4030
   -5.4030
...
   -5.4115
   -5.4115

Ecuación de Lagrange

La lagrangiana es

L= E k E p = 1 2 ( I O +m R 2 2mR r c cosθ ) ( dθ dt ) 2 +mg r c cosθ

La ecuación diferencial del movimiento es

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 d dt ( ( I O +m R 2 2mR r c cosθ ) dθ dt )mR r c sinθ ( dθ dt ) 2 +mg r c sinθ=0 ( I O +m R 2 2mR r c cosθ ) d 2 θ d t 2 +2mR r c sinθ ( dθ dt ) 2 mR r c sinθ ( dθ dt ) 2 +mg r c sinθ=0 ( I O m R 2 +12 r c R cosθ ) d 2 θ d t 2 + r c R sinθ ( dθ dt ) 2 + g R r c R sinθ=0

Actividades

En el programa interactivo, se selecciona un semicilindro hueco o macizo activando el botón de radio correspondiente

La situación inicial del semicilindro en el instante t=0, θ=π/6 (30°), dθ/dt=0 (parte del resposo)

Datos para un semicilindro hueco:

Semicilindro macizo:

En la parte derecha, se proporcionan los datos de

Sabiendo que el máximo desplazamiento angular se produce cuando dθ/dt=0, medimos el periodo de la oscilación utilizando la combinación de botones botones || y >|

El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente

| E E 0 E 0 |·100

donde E es la energía en cualquier instante t, y E0=-mgrccosθ0 es la energía inicial del sistema.

Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.

Referencias

Leaf Turner, Ari M. Turner. Asymmetric rolling bodies and the phantom torque. Am. J. Phys. 78 (9) September 2010, pp. 905-907