Oscilaciones de un semicilindro
En la figura, se muestra un semicilindro macizo en la posición de equilibrio (en color azul) y su posición en el instante t (en color rojo) cuando ha rodado sin deslizar hacia la izquierda. Ha girado un ángulo θ y su centro se ha desplazado Rθ, siendo R el radio del cilindro
Para dibujar, parte de la figura se ha elaborado el siguiente script
hold on fplot(@(x) cos(x), @(x) sin(x),[pi,2*pi],'color','b') line([-1,1],[0,0],'color','b') line([0,0],[-1,0],'color','k', 'lineStyle','--') plot(0,-2/pi,'ko','markersize',3,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k') th=pi/12; fplot(@(x) cos(x)-th, @(x) sin(x),[pi+th,2*pi+th], 'color','r') line([-cos(th),cos(th)]-th,[-sin(th),sin(th)],'color','r') line([-1,1],[-1,-1],'color','k') line([0,0]-th,[-1,0],'color','k', 'lineStyle','--') plot(2*sin(th)/pi-th,-2*cos(th)/pi,'ko','markersize',3, 'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k') line([0,2*sin(th)/pi]-th,[0,-2*cos(th)/pi],'color','k', 'lineStyle','--') hold off axis equal axis off
En esta página, vamos a formular las ecuaciones del movimiento, utilizando la ecuación
que es válida incluso si el centro de masas (c.m.) no está en reposo con relación al sistema inercial de referencia
Centro de masas de un cuerpo en forma de semicilindro
Semicilindro hueco
Consideremos una lámina doblada en forma cilíndrica de masa m y radio R. Dicha lámina tiene el mismo centro de masas, que un arco semicircular de radio R
Consideremos un elemento diferencial de arco, comprendido entre θ y θ+dθ, de longitud R·dθ, cuya altura es y=Rsinθ

Por simetría, el centro de masas se encuentra en el eje Y, a la altura rc
Semicilindro macizo
Si el semicilindro es macizo, el centro de masas estará sobre el eje Y a una altura menor. El semicilindro tiene el mismo centro de masas que una lámina semicircular
Tomamos un elemento diferencial de área, un rectángulo horizontal de longitud 2x y anchura dy que se encuentra a una altura y

El denominador es el área de un semicírculo πR2/2. Para calcular el numerador, relacionamos las variables x e y a través de la ecuación de la circunferencia, x2+y2=R2
Momento de inercia de un cuerpo en forma de semicilindro
Semicilindro hueco
El momento de inercia de una masa m situada a una distancia R del eje de rotación (eje del cilindro)
Semicilindro macizo

El momento de inercia del semicilindro macizo respecto del eje del cilindro, se calcula de la misma forma que la de un cilindro macizo o un disco, repecto de un eje perpendicular que pasa por el centro
Tomamos un elemento diferencial de área comprendido entre r y r+dr cuya área es (πr)dr
Ecuaciones del movimiento
En la figura, observamos la posición del semicilindro en la situación de equilibrio (en color azul) y en el instante t cuando ha rodado hacia la izquierda. Se ha desplazado Rθ y ha girado un ángulo θ
Representamos las fuerzas sobre el semicilindro
- El peso mg en el centro de masas, c.m.
- La reacción N en el punto de contacto con el plano horizontal
- La fuerza de rozamiento Fr en el punto de contacto, para que el semicilindro ruede sin deslizar
La posición del centro de masas es
-
La velocidad del centro de masas es
-
La aceleración del centro de masas es
Situamos el origen en el centro del semicilindro en equilibrio y los ejes X e Y.
Las ecuaciones del movimiento son
Movimiento de traslación del centro de masas
Movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura, que pasa por el centro de masas
- desplazamiento inicial, θ0=π/6 (30°)
- posición del centro de masas, rc=2R/π
- momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro, IO=mR2
Sustituimos Fr y N por sus expresiones en términos de θ y sus derivadas
Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, θ=θ0, dθ/dt=0 (parte del resposo). Para un semicilindro hueco los datos son:
R=1; %radio del semicilindro rc=2*R/pi; %centro de masas del semicilindro hueco I0=R^2; %momento de inercia (masa, m=1) f=@(t,x) [x(2);-(rc*sin(x(1))*x(2)^2/R+9.8*rc*sin(x(1))/R^2) /(I0/R^2+1-2*rc*cos(x(1))/R)]; [t,x]=ode45(f,[0,4],[pi/6,0]); plot(t,x(:,1)) grid on xlabel('t') ylabel('\theta'); title('Semicilindro hueco')
Conservación de la energía
La energía cinética es la suma de dos términos: la energía cinética del movimiento de traslación del c.m. y la energía cinética del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Tomando el origen como nivel cero de energía potencial, la energía potencial del c.m. es -mgrccosθ
La energía del semicilindro en el instante t es la suma de ambas contribuciones
Comprobamos que la energía E/(mR2) se mantiene casi constante
>> E0=-9.8*rc*cos(pi/6)/(R*R) E0 = -5.4030 >> E=(I0/(R*R)+1-2*rc*cos(x(:,1))/R).*x(:,2).^2/2-9.8*rc*cos(x(:,1))/(R*R) E = -5.4030 -5.4030 -5.4030 ... -5.4115 -5.4115
Ecuación de Lagrange
La lagrangiana es
La ecuación diferencial del movimiento es
Actividades
En el programa interactivo, se selecciona un semicilindro hueco o macizo activando el botón de radio correspondiente
La situación inicial del semicilindro en el instante t=0, θ=π/6 (30°), dθ/dt=0 (parte del resposo)
Datos para un semicilindro hueco:
- posición del centro de masas, rc=2R/π
- momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro, IO=mR2
Semicilindro macizo:
- posición del centro de masas, rc=4R/(3π)
- momento de inercia respecto de un eje que pasa por el centro, IO=mR2/2
En la parte derecha, se proporcionan los datos de
- el tiempo, t
- El desplazamiento angular, θ, que es el ángulo que forma la recta horizontal con el diámetro del semicilindro
- la velocidad angular, dθ/dt
- la posición -Rθ del punto de contacto del cilindro y el plano horizontal
Sabiendo que el máximo desplazamiento angular se produce cuando dθ/dt=0, medimos el periodo de la oscilación utilizando la combinación de botones botones || y >|
El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente
donde E es la energía en cualquier instante t, y E0=-mgrccosθ0 es la energía inicial del sistema.
Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.
Referencias
Leaf Turner, Ari M. Turner. Asymmetric rolling bodies and the phantom torque. Am. J. Phys. 78 (9) September 2010, pp. 905-907