Modelos de fuerza de rozamiento

Sea una placa de momento de inercia I, que puede girar alrededor de un eje con velocidad inicial ω0. La velocidad angular de rotación ω disminuye con el tiempo a causa del momento Mr de la fuerza de rozamiento. La ecuación del movimiento es

I dω dt = M r

Examinamos distintos modelos de rozamiento y sus combinaciones

  1. Rozamiento constante

  2. Sea Mr=α·I

    Integrando la ecuación del movimiento

    ω 0 ω dω =α 0 t dt ω= ω 0 αt

    La velocidad angular disminuye linealmente con el tiempo

  3. Rozamiento proporcional a la velocidad angular

  4. Sea Mr=βω·I

    Integrando la ecuación del movimiento

    ω 0 ω dω ω =β 0 t dt lnωln ω 0 =βt ω= ω 0 exp( βt )

    La velocidad angular disminuye exponencialmente con el tiempo

  5. Rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad angular

  6. Sea Mr=γω2I

    Integrando la ecuación del movimiento

    ω 0 ω dω ω 2 =γ 0 t dt 1 ω 0 1 ω =γt ω= ω 0 1+ ω 0 γt

  7. Combinación de rozamiento constante y proporcional a la velocidad angular

  8. dω dt =( α+βω ) ω 0 ω dω α+βω = 0 t dt 1 β ( ln( α+βω )ln( α+β ω 0 ) )=t ω=( α β + ω 0 )exp( βt ) α β

  9. Combinación de rozamiento constante y proporcional al cuadrado de la velocidad angular

  10. dω dt =( α+γ ω 2 ) ω 0 ω dω α+γ ω 2 = 0 t dt 1 γ ω 0 ω dω α γ + ω 2 =t 1 γ γ α { arctan( γ α ω )arctan( γ α ω 0 ) }=t arctan( γ α ω )=arctan( γ α ω 0 )t αγ

    Teniendo en cuenta la relación trigonométrica

    tan( x+y )= tanx+tany 1tanxtany

    Despejamos la velocidad angular de rotación ω

    γ α ω= γ α ω 0 tan( t αγ ) 1+ ω 0 γ α tan( t αγ ) ω= ω 0 α γ tan( t αγ ) 1+ ω 0 γ α tan( t αγ )

  11. Combinación de rozamiento proporcional a la velocidad y proporcional al cuadrado de la velocidad angular

  12. dω dt =( βω+γ ω 2 ) ω 0 ω dω βω+γ ω 2 = 0 t dt

    Convertimos la fracción en suma de dos fracciones

    1 β ω 0 ω ( 1 ω γ β+γω )dω =t 1 β { ln ω ω 0 ln β+γω β+γ ω 0 }=t ω( β+γ ω 0 ) ω 0 ( β+γω ) =exp( βt ) ω= β ω 0 exp( βt ) β+γ ω 0 γ ω 0 exp( βt ) = β ω 0 ( β+γ ω 0 )exp( βt )γ ω 0

  13. Combinación de rozamiento constante, proporcional a la velocidad y proporcional al cuadrado de la velocidad angular

  14. dω dt =( α+βω+γ ω 2 ) ω 0 ω dω α+βω+γ ω 2 = 0 t dt

    Completamos cuadrados

    α+βω+γ ω 2 =α β 2 4γ + ( β 2 γ + γ ω ) 2

    Efectuamos el cambio de variable

    u= β 2 γ + γ ω,du= γ dω

    La integral es inmediata

    dω α+βω+γ ω 2 = 1 γ du α β 2 4γ + u 2 = 1 γ 1 α β 2 4γ arctan( u α β 2 4γ )= 2 4γα β 2 arctan( β 2 γ + γ ω α β 2 4γ )= 2 4γα β 2 arctan( β+2γω 4γα β 2 )

    La integral definida es

    2 4γα β 2 { arctan( β+2γω 4γα β 2 )arctan( β+2γ ω 0 4γα β 2 ) }=t arctan( β+2γω 4γα β 2 )arctan( β+2γ ω 0 4γα β 2 )= 4γα β 2 2 t

    Utilizando la fórmula de tan(x+y)

    arctan( β+2γω 4γα β 2 )=arctan( β+2γ ω 0 4γα β 2 ) 4γα β 2 2 t β+2γω 4γα β 2 = β+2γ ω 0 4γα β 2 tan( 4γα β 2 2 t ) 1+ β+2γ ω 0 4γα β 2 tan( 4γα β 2 2 t ) β+2γω= β+2γ ω 0 4γα β 2 tan( 4γα β 2 2 t ) 1+ β+2γ ω 0 4γα β 2 tan( 4γα β 2 2 t ) ω= ω 0 + β 2γ 4γα β 2 2γ tan( 4γα β 2 2 t ) 1+ β+2γ ω 0 4γα β 2 tan( 4γα β 2 2 t ) β 2γ

    Cuando β=0, obtenemos la ecuación del modelo 5 (combinación de rozamiento constante y proporcional al cuadrado de la velocidad)

Ejemplo

Sean los coeficientes

La velocidad inicial de rotacion es ω0=1 rad/s

Representamos la velocidad angular ω en función del tiempo para los tres primeros modelos

a=0.3;
b=0.1;
c=0.05;

w0=1;
hold on
f=@(t) w0-a*t;
fplot(f,[0,w0/a])
f=@(t) w0*exp(-b*t);
fplot(f,[0,10])
f=@(t) w0./(1+c*w0*t);
fplot(f,[0,10])
hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega')
legend('\alpha','\beta\omega','\gamma\omega^2', 'Location','best')
title('Rozamiento en el movimiento de rotación')

Representamos la velocidad angular ω en función del tiempo para las combinaciones

a=0.3;
b=0.1;
c=0.05;

w0=1;
hold on
f=@(t) (a/b+w0)*exp(-b*t)-a/b;
fplot(f,[0,2])
f=@(t) (w0-sqrt(a/c)*tan(sqrt(a*c)*t))./(1+w0*sqrt(c/a)*tan(sqrt(a*c)*t));
fplot(f,[0,2])
f=@(t) b*w0./((b+c*w0)*exp(b*t)-c*w0);
fplot(f,[0,2])
f=@(t) (w0+b/(2*c)-sqrt(4*c*a-b^2)*tan(sqrt(4*c*a-b^2)*t/2)/(2*c))./(1+(b+2*c*w0)*
tan(sqrt(4*c*a-b^2)*t/2)/sqrt(4*c*a-b^2))-b/(2*c);
fplot(f,[0,2])

hold off
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega')
legend('\alpha+\beta\omega', '\alpha+\gamma\omega^2','\beta\omega+\gamma\omega^2',
'\alpha+\beta\omega+\gamma\omega^2', 'Location','best')
title('Rozamiento en el movimiento de rotación')

Referencias

Pascal Klein, Andreas Müller, Sebastian Gröber, Alexander Molz, Jochen Kuhn. Rotational and frictional dynamics of the slamming of a door. Am. J. Phys. 85 (1), January 2017. pp. 30-37