Choque de dos esferas iguales

Movimiento de las esferas

La descripción del movimiento de cada una de las esferas es similar al de un péndulo formado por una masa puntual m que cuelga de un hilo inextensible de longitud l. La ecuación del movimiento es

m·at=-mg·sinθ

d 2 θ d t 2 + g l sinθ=0

Para determinar la posición angular θ de cada péndulo (el ángulo que forma con la vertical) en función del tiempo, se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos en dos etapas con las siguientes condiciones iniciales:

Balance energético

Comparemos dos posiciones del péndulo:

En la posición extrema θ=θ0, la energía es solamente potencial.

E=mg(l-l·cosθ0)

En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial

E= 1 2 m v 2 +mg(llcosθ)

La energía se conserva

v2=2gl(cosθ-cosθ0)

La velocidad u de cada una de las esferas justamente antes del choque, cuando θ=0 es

u2=2gl(1-cosθ0)

Choque de dos esferas

Las velocidades de las esferas v1=-v y v2=v después del choque están relacionadas con las velocidades u1=u y u2=-u antes del choque mediante

v1-v2=-e(u1-u2)
-2v=-e(2u),

La velocidad v de las esferas después del choque disminuye ya que el coeficiente de restitución e<1.

v=e·u

Sucesivos choques de las dos esferas

En la figura, se muestra:

  1. La posición inicial de partida, cuando la velocidad angular inicial es cero.
  2. Las dos esferas justamente antes del choque
  3. Las dos esferas justamente después del choque
  4. La posición final de máximo alejamiento de las esferas, cuando alcanzan la desviación máxima

Balance energético

A medida que las esferas chocan su energía va disminuyendo. La energía inicial de cada una de las esferas es

E0=mg(l-l·cosθ0)

Después de n choques la energía de cada una de las esferas es

E n =mg(llcos θ n )=mgl e 2n (1cos θ 0 ) E n = e 2n E 0

Ejemplo

Se desvía cada una de las esferas un ángulo de θ0=90º de la posición de equilibrio

En la tabla, se especifica la máxima desviación θn, la proyección en dicha posición  xn del centro de la esfera sobre el eje X, y la energía En.

e=0.8
θ x/l E/E0
90º 1.00 1.0
69º 0.93 0.64
54º 0.81 0.41
42º 0.67 0.26
34º 0.55 0.17
27º 0.45 0.11

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento de las dos esferas idénticas que parten de la posición θ0=90º y a continuación, se sueltan.

Las esferas se acercan, chocan, se alejan hasta que alcanzan la desviación máxima y así, sucesivamente.

Sobre el eje horizontal, se van marcando las proyecciones del centro de una de las esferas cuando alcanzan la desviación máxima.

En la parte izquierda, se muestra el balance energético:

En la parte superior se proporcionan los datos de