Medida de la velocidad de una bala

Consideramos que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado en el momento del choque, por  lo que aplicamos el principio de conservación del momento lineal para obtener la velocidad v0 inmediatamente después del choque del sistema formado por el bloque y la bala que se incrustado en él.

Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y u su velocidad, dicho principio se escribe

mu=(m+M)v0

La energía perdida en el choque es

Q= 1 2 (m+M) v 0 2 1 2 m u 2 =( M m+M )( 1 2 m u 2 )

Estudio energético del sistema después del choque

Supondremos que entre el bloque y el plano horizontal sobre el que desliza hay rozamiento cuyo coeficiente estático es μs y dinámico μk.

La energía cinética del cuerpo de masa (m+M) formado por la bala y el bloque, después del choque se trasforma en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía potencial del muelle deformado.

Las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo son:

Movimiento del cuerpo hacia la derecha

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial del sistema

f r ·x=( 1 2 (M+m) v 2 + 1 2 k x 2 ) 1 2 (M+m) v 0 2

La máxima deformación del muelle xm se produce cuando v=0.

μ k (M+m)g· x m = 1 2 k x m 2 1 2 m 2 u 2 (M+m)

Midiendo xm despejamos la velocidad u de la bala antes del choque

Si conocemos la velocidad u de la bala antes del choque, resolvemos la ecuación de segundo grado en xm y tomamos la raíz positiva.

Si definimos el parámetro ω2=k/(m+M), Para calcular xm resolvemos la ecuación de segundo grado

ω 2 x m +2 μ k g· x m v 0 2 =0 x m = μ k g+ μ k 2 g 2 + v 0 2 ω 2 ω 2

El móvil parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que kxm μs(m+M)g, en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque. Supongamos que se cumple la primera condición.

Movimiento del cuerpo hacia la izquierda

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial del sistema

f r ·( x m x)=( 1 2 (M+m) v 2 + 1 2 k x 2 ) 1 2 k x m 2

Pueden ocurrir dos casos:

  1. Que el cuerpo se pare antes de llegar al origen x=0 si

  2. μ k (M+m)g x m > 1 2 k x m 2 2 μ k g> ω 2 x m

    Calculamos la posición final xf del cuerpo poniendo v=0.

    μ k (M+m)g( x m x f )= 1 2 k x f 2 1 2 k x m 2 ω 2 x m 2 2 μ k g x f ( ω 2 x m 2 2 μ k g x m )=0 x f = μ k g ω 2 x m

  3. Que llegue al origen con velocidad no nula

  4. Calculamos la velocidad vf, del cuerpo cuando pasa por el origen x=0

    μ k (M+m)g· x m = 1 2 (M+m) v f 2 1 2 k x m 2 v f = ω 2 x m 2 2 μ k g x m

El bloque deja de estar en contacto con el muelle

Si el bloque no está sujeto al muelle, el cuerpo formado por el bloque y la bala continúan moviéndose hacia la izquierda hasta que la energía cinética se convierte integramente en trabajo de la fuerza de rozamiento

μ k (M+m)g·| x |=0 1 2 (M+m) v f 2 x= v f 2 2 μ k g

Ejemplo 1:

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v0v0=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La energía cinética inicial de dicho cuerpo, se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía potencial de deformación del muelle

0.3(1.0+0.2)9.8· x m = 1 2 20· x m 2 1 2 (1.0+0.2) ( 5 3 ) 2

Despejamos xm en esta ecuación de segundo grado, xm=0.268 m=26.8 cm

En esta posición xm:

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Comprobamos si la energía potencial elástica es suficiente para llevar el cuerpo al origen

0.3(1.0+0.2)9.8·0.268> 1 2 20· 0.268 2

Se para antes de llegar al origen, parte de la energía potencial elástica se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento. Despejamos xf en la ecuación de segundo grado

0.3(1.0+0.2)9.8(0.268 x f )= 1 2 20 x f 2 1 2 20· 0.268 2

xf=0.084=8.4 cm

Ejemplo 2:

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v0v0=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La energía cinética inicial de dicho cuerpo, se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento, y en energía potencial de deformación del muelle

0.1(1.0+0.2)9.8· x m = 1 2 20· x m 2 1 2 (1.0+0.2) ( 5 3 ) 2

Despejamos xm en esta ecuación de segundo grado, xm=0.354 m=34.5 cm

En esta posición:

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Comprobamos si la energía potencial elástica es suficiente para llevar el cuerpo al origen

0.1(1.0+0.2)9.8·0.354< 1 2 20· 0.354 2

Llega al origen con velocidad no nula, la energía potencial elástica se convierte en trabajo de la fuerza de rozamiento y en energía cinética de dicho cuerpo.

0.1(1.0+0.2)9.8·0.354= 1 2 (1.0+0.2) v f 2 1 2 20· 0.354 2

Despejamos vf =1.18 m/s hacia la izquierda

El bloque deja de estar en contacto con el muelle

El bloque deja de tener contacto con el muelle y el cuerpo se mueve hacia la izquierda del origen hasta que se para. La energía cinética se convierte integramente en trabajo de la fuerza de rozamiento

0.1(1.0+0.2)9.8·| x |=0 1 2 (1.0+0.2) 1.18 2

|x|=0.710 m, x=-7.10 cm

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la bala antes del choque, y del cuerpo formado por la bala y el bloque después del choque.

En la parte superior, se proporciona los datos relativos, el tiempo parcial t en segundos, la posición x en cm, la velocidad v de la bala en m/s y la energía del sistema formado por la bala, el bloque y el muelle, en cada instante.

Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el cuerpo formado por el bloque y la bala después del choque.



Ecuaciones del movimiento

Después del choque, la bala y el bloque forman un cuerpo de masa (M+m) que se mueve hacia la derecha con velocidad inicial v0, bajo la acción de las siguientes fuerzas:

Cuando el bloque se mueve hacia la derecha (v>0), la ecuación del movimiento es

(m+M)a=-kx- μk(m+M)g,

Cuando el bloque se mueve hacia la izquierda (v<0), la fuerza de rozamiento cambia de sentido y la ecuación del movimiento es

(m+M)a=-kx+μk(m+M)g,

Escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + ω 2 x= μ k g dx dt >0 d 2 x d t 2 + ω 2 x= μ k g dx dt <0

con ω2=k/(m+M)

Las ecuaciones del movimiento nos recuerdan la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional ±μkg

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

ω2Cμkg,     Cμkg/ω2

La solución completa de cada una de las ecuaciones diferenciales es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt) μ k g ω 2 v>0 x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+ μ k g ω 2 v<0

En ambos casos, la velocidad del conjunto bala-bloque es

v= dx dt =Aωcos(ωt)Bωsin(ωt)

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

Ejemplo 1:

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por el bloque y la bala después del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v0v0=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La frecuencia angular ω= 20 1.0+0.2 =4.08rad/s

La posición y velocidad de dicho cuerpo en función del tiempo t son

x= v 0 ω sin(ωt)+ μ k g ω 2 ( cos(ωt)1 ) v= v 0 cos(ωt) μ k g ω sin(ωt)

El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que

tan(ωt)= v 0 ω μ k g = (5/3)·4.08 0.3·9.8 t=0.285s x m = 1 ω 2 ( v 0 2 ω 2 μ k 2 g 2 μ k g )= 1 4.08 2 ( (5/3) 2 4.08 2 0.3 2 · 9.8 2 0.3·9.8 )=0.268m

En esta posición, xm

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Como ω2xm<2μkg es decir, 4.082·0.268<2·0.3·9.8, el móvil se para antes de llegar al origen, en el instante ωt=π, tf=0.77 s, cuando se encuentra en la posición xf.

x f = x m + 2 μ k g ω 2 =0.268+ 2·0.3·9.8 4.08 2 =0.084m=8.4cm

Ejemplo 2:

Choque de la bala y el bloque

La velocidad del cuerpo formado por el bloque y la bala del choque es

0.2·10=(0.2+1)·v0v0=5/3 m/s

El cuerpo se mueve hacia la derecha

La frecuencia angular ω= 20 1.0+0.2 =4.08rad/s

La posición y velocidad de dicho cuerpo en función del tiempo t son

x= v 0 ω sin(ωt)+ μ k g ω 2 ( cos(ωt)1 ) v= v 0 cos(ωt) μ k g ω sin(ωt)

El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante ttal que

tan(ωt)= v 0 ω μ k g = (5/3)·4.08 0.1·9.8 t=0.350s x m = 1 4.08 2 ( (5/3) 2 4.08 2 0.1 2 · 9.8 2 0.1·9.8 )=0.354m

En esta posición, xm

El cuerpo se mueve hacia la izquierda

Como ω2xm>2μkg es decir, 4.082·0.354 >2·0.1·9.8, el móvil cruza el origen, en el instante

ωt=πarccos( μ k g ω 2 x m μ k g )=π 0.1·9.8 4.08 2 ·0.3540.1·9.8 t=0.434s

La velocidad del cuerpo cuando pasa por el origen es

v f = ω 2 x m 2 2 μ k g x m = 4.08 2 · 0.354 2 2·0.1·9.8·0.354 =1.18m/s

El muelle deja de actuar sobre el bloque

Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado del cuerpo son

v= v f + μ k gt=1.18+1·9.8·t x= v f t+ 1 2 μ k g t 2 =1.18·t+ 1 2 1·9.8· t 2

En esta etapa tarda 1.2 s en detenerse. El tiempo total que desde que la bala y el bloque chocan en el origen y se detienen es de 0.350+0.434+1.204=1.988 s, en la posición x=-0.710 m= -7.10 cm

Utilizando MATLAB

Escribimos el script siguiente, para representar la posición x y la velocidad v de la bala y el bloque después del choque.

mu=0.1;  %coeficiente cinético de rozamiento
M=1; %masa bloque
m=0.2; %masa bala
u=10; %velocidad inicial de bala
k=20; %constante del muelle
g=9.8; %aceleración de la gravedad

v0=m*u/(m+M); %velocidad de la bala-bloque después del choque
w=sqrt(k/(m+M)); %frecuencia angular
t1=atan(v0*w/(mu*g))/w;  %tiempo de la primera etapa
xm=(sqrt(v0^2*w^2+mu^2*g^2)-mu*g)/w^2; 
if (w^2*xm)>(2*mu*g)  %pasa por el origen
    t2=(pi-acos(mu*g/(w^2*xm-mu*g)))/w;
    v2=-sqrt(w^2*xm^2-2*mu*g*xm);
    t3=-v2/(mu*g);
    x3=-v2^2/(2*mu*g);
else  %se detine antes de llegar al origen
    t2=pi/w;
    v2=0;
    x2=-xm+2*mu*g/w^2;
    t3=0;
end

tf=t1+t2+t3;
t=0:0.01:tf;
x=(v0*sin(w*t)/w+mu*g*(cos(w*t)-1)/w^2).*(t<t1)+
((xm-mu*g/w^2)*cos(w*(t-t1))+mu*g/w^2).*(t1<=t & t<(t1+t2))+
(v2*(t-t1-t2)+mu*g*(t-t1-t2).^2/2).*((t1+t2)<=t);
v=(v0*cos(w*t)-mu*g*sin(w*t)/w).*(t<t1)+
(-(xm*w-mu*g/w)*sin(w*(t-t1))).*(t1<=t & t<(t1+t2))+
(v2+mu*g*(t-t1-t2)).*((t1+t2)<=t);

subplot(2,1,1)
plot(t,x, 'red')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
subplot(2,1,2)
plot(t,v,'blue')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')