El péndulo balístico

De la conservación del momento lineal obtenemos la velocidad vB inmediatamente después del choque del sistema formado por el péndulo y la bala incrustada en él.

Si M es la masa del bloque, m la masa de la bala y u su velocidad, dicho principio se escribe

mu=(m+M)vB

Después de la colisión pueden ocurrir los siguientes casos, (véase el bucle) dependiendo del valor de la energía cinética adquirida por el sistema formado por el péndulo y la bala incrustada en él.

  1. Que el ángulo máximo de desviación del péndulo no supere los 90º

  2. La conservación de la energía se escribe

    1 2 (m+M) v B 2 =(m+M)gR(1cosθ)

    Midiendo el ángulo θ  obtenemos vB y de la conservación del momento lineal obtenemos la velocidad de la bala u.

  3. Que el péndulo dé vueltas

  4. 1 2 (m+M) v B 2 = 1 2 (m+M) v C 2 +2(m+M)gR

    Ahora bien, la velocidad en el punto más alto C debe superar un valor mínimo.

    De las dinámica del movimiento circular tenemos que

    ( m+M )g+T=( m+M ) v C 2 R

    Siendo T la tensión de la cuerda. La velocidad mínima se obtiene cuando T=0,

    v Cmín = Rg . Entonces v B 2 =5gR

  5. Que el péndulo se desvíe un ángulo comprendido entre 90º y 180º

  6. De la dinámica del movimiento circular y el principio de conservación de la energía tenemos que

    T+( m+M )gcos(180θ)=( m+M ) v 2 R 1 2 (m+M) v B 2 = 1 2 (m+M) v 2 +(m+M)gR( 1+cos(180θ) )

    La cuerda del péndulo deja de tener efecto en el instante en el que su tensión es cero T=0. Por lo que

    v B 2 =gR( 23cosθ )     θ>90

    En dicho instante, la partícula se mueve bajo la única fuerza de su propio peso describiendo un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad o un tiro parabólico

    En dicho instante, la partícula se mueve bajo la única fuerza de su propio peso describiendo un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad o un tiro parabólico

    v 0x =vcos( 180θ ) v 0y =vsin( 180θ ) x=Rsin( 180θ ) v 0x ty=Rcos( 180θ )+ v 0y t 1 2 g t 2

    Tomando el centro del bucle como origen de coordenadas. El péndulo vuelve a oscilar cuando se cumpla que x 2 + y 2 = R 2

Un estudio detallado de la interesante combinación de movimiento circular y parabólico se encuentra en la sección, más abajo, "Trayectoria circular y parabólica". Véase también el ejemplo análogo del movimiento de una partícula en un bucle.

Ejemplo1

La velocidad vB del conjunto formado por la bala y el bloque inmediatamente después del choque, es

m·u=(m+M)vB,   vB=1.18 m/s

Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcula la máxima desviación del péndulo

1 2 (m+M) v B 2 =(m+M)ghh=RRcosθ

Conocido vB despejamos h=0.07 m, y calculamos el ángulo θ=30.8º

Ejemplo 2

¿Cuál debe ser la velocidad mínima u de la bala para que el péndulo describa una circunferencia?.

Calculamos la velocidad mínima vC de la partícula en el punto más alto de la trayectoria circular, cuando la tensión de la cuerda es cero, aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme.

v C = 9.8·0.5 =2.21m/s

Aplicando el principio de conservación de la energía, calculamos la velocidad de la partícula en el punto B más bajo de la trayectoria circular.

1 2 (m+M) v B 2 = 1 2 (m+M) v C 2 +(m+M)g·2R v B =4.95m/s

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, para calcular la velocidad de la bala u antes del choque

m·u=(M+m)vB,   u=42.07 m/s

Ejemplo 3

La velocidad vB del conjunto formado por la bala y el bloque inmediatamente después del choque, es

m·u=(m+M)vB,   vB=4.12 m/s

Aplicamos el principio de conservación de la energía, para calcular la máxima desviación del péndulo

1 2 (m+M) v B 2 =(m+M)ghh=RRcosθ

Conocido vB despejamos h=0.87 m, que es mayor que la longitud R=0.5 del péndulo

La cuerda del péndulo deja de tener efecto en el instante en el que su tensión es cero T=0. Por lo que

( m+M )gcos(180θ)=( m+M ) v 2 R 1 2 ( m+M ) v B 2 = 1 2 ( m+M ) v 2 +( m+M )gR( 1+cos(180θ) )

En este sistema de ecuaciones, calculamos el ángulo θ=119.1º y la velocidad de la partícula v=1.54 m/s

El movimiento posterior de la partícula viene descrito por las siguientes ecuaciones del tiro parabólico.

v 0x =vcos(180θ)=0.75m/s v 0y =vsin(180θ)=1.35m/s x=0.440.75·ty=0.24+1.35·t4.9· t 2

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se observa el movimiento del péndulo. Se representa la energía del sistema después del choque.

Se modifica la masa del bloque de modo que se pueda medir la desviación del péndulo en la escala graduada.


Trayectoria circular y parabólica

  1. La partícula describe una trayectoria circular si la velocidad en la parte más baja del bucle es

  2. v 0 5Rg

  3. La partícula se mueve hacia atrás cuando

  4. v 0 2Rg

  5. Cuando la velocidad v0 está comprendida entre estos dos valores, la partícula describe una trayectoria circular y a continuación, una trayectoria parabólica.

Para analizar este movimiento, situamos el origen en el centro de la trayectoria circular y medimos los ángulos desde el eje X. El nivel cero de energía potencial lo situamos en el eje X. La energía de la partícula es

E 1 = 1 2 m v 0 2 mgR

En la posición angular θ1 la partícula abandona la trayectoria circular, la tensión T de la cuerda es nula. La ecuación de la dinámica del movimiento circular se escribe

mgsin θ 1 =m v 1 2 R

Conocida la energía de la partícula E1, determinamos el valor del ángulo θ1

E 1 = 1 2 m v 1 2 +mgRsin θ 1 = 3 2 mgRsin θ 1

Para que la partícula describa una trayectoria parbólica, se tiene que cumplir que 0<E1<3mgR/2

Una vez que llega P1 describe un movimiento parabólico, la velocidad y la posición de la partícula es

{ v x = v 1 sin θ 1 v y = v 1 cos θ 1 gt { x=Rcos θ 1 v 1 sin θ 1 t y=Rsin θ 1 + v 1 cos θ 1 t 1 2 g t 2

En el punto P2 la distancia entre la partícula y el centro vuelve a ser R. P2 es el punto de intersección entre la parábola y la circunferencia de radio R. Recordando que la ecuación de una circunferencia, cuando su centro está en el origen de coordenadas es

x 2 + y 2 = R 2 ( Rcos θ 1 v 1 sin θ 1 t ) 2 + ( Rsin θ 1 + v 1 cos θ 1 t 1 2 g t 2 ) 2 = R 2

Teniendo en cuenta que de la dinámica del movimiento circular

v 1 2 =Rgsin θ 1

Llegamos a la siguiente expresión simplificada

t 3 g( 1 4 gt v 1 cos θ 1 )=0

El tiempo de vuelo de la partícula hasta que llega a P2 es

t= 4 v 1 cos θ 1 g

La posición del punto P2 y la velocidad de la partícula son, respectivamente

{ v 2x = v 1 sin θ 1 v 2y =3 v 1 cos θ 1 { x 2 =Rcos θ 1 4 v 1 2 sin θ 1 cos θ 1 g =3Rcos θ 1 +4R cos 3 θ 1 y 2 =Rsin θ 1 4 v 1 2 cos 2 θ 1 g =Rsin θ 1 4Rsin θ 1 cos 2 θ 1

Supondremos que cuando la cuerda se estira al máximo, se anula la componente normal de la velocidad y la partícula describe de nuevo una trayectoria circular con la componente tangencial de dicha velocidad como velocidad inicial.

La componente normal de la velocidad se calcula mediante el producto escalar r 2 · v 2

v 2r = r 2 · v 2 R v 2t 2 = v 2 2 v 2r 2

El módulo del vector posición r 2 del punto P2 es el radio R de la circunferencia

v 2r =8 v 1 sin θ 1 cos 3 θ 1 v 2t 2 = v 1 2 (1+8 cos 2 θ 1 64 cos 6 θ 1 +64 cos 8 θ 1 ) v 2t = v 1 (1+4 cos 2 θ 1 8 cos 4 θ 1 )

Si v2t es positiva la partícula se mueve hacia la derecha (como se ve en la figura más arriba), si es negativa, se mueve hacia la izquierda

La energía de la partícula en el punto P2 final de la trayectoria parabólica es

E 2 = 1 2 m v 2t 2 +mg y 2 =mgRsin θ 1 ( 3 2 32 cos 6 θ 1 sin 2 θ 1 )

Esta energía E2 es menor que la energía de la partícula en el punto de partida, E1

Si la energía E2 de la partícula es positiva, calculamos el nuevo ángulo θ2, dibujamos la trayectoria parabólica y así, sucesivamente. Las líneas a trazos marcan el inicio y fin de cada una de las trayectorias parabólicas

k=1.36; %E/(mgR), proporción de energía, k>0, k<3/2
R=1;
hold on
fplot(@(t) cos(t),@(t) sin(t),[0,2*pi],'color','k')
signo=1;
disp([k,1])
for i=1:5 %hasta cinco trayectorias
    th=asin(2*k/3); %ángulo
    v=sqrt(R*sin(th)*9.8); %velocidad disparo
    T=4*v*cos(th)/9.8; %tiempo de vuelo
    fplot(@(t) signo*(R*cos(th)-v*sin(th)*t), @(t) R*sin(th)+
v*cos(th)*t-4.9*t.^2,[0,T])
    line([0,signo*R*cos(th)],[0,R*sin(th)],'lineStyle','--')
    line([0,signo*(-3*R*cos(th)+4*R*cos(th)^3)],[0,R*sin(th)-
4*R*sin(th)*cos(th)^2],'lineStyle','--')
    k=sin(th)*(3/2-32*cos(th)^6*sin(th)^2);
    v_2t=v*(1+4*cos(th)^2-8*cos(th)^4);
    signo=1;
    if v_2t<0
        signo=-1;
    end
     %disp([k,v_2t])
    if k<0
        break;
    end
    disp([k,sign(v_2t)])
end
hold off
axis square
axis off

El programa imprime el valor de la energía en unidades mgR y el signo de la componente tangencial de la velocidad en la posición final P2

    1.3600    1.0000
    1.2256    1.0000
    0.5845    1.0000

En la figura vemos que para el valor de la energía k=1.36 se obtienen tres trayectorias parabólicas. Se sugiere al lector probar con k=1.40, 1.41, 1.42, etc. El script puede dibujar hasta cinco trayectorias

Referencias

Alain Goriely, Philippe Boulanger and Jules Leroy. Toy models: the jumping pendulum. Am. J. Phys. 74 (9) September 2006, pp. 784-788