Choques en dos dimensiones

El objetivo de esta página es el de estudiar los choques bidimensionales de dos partículas en el Sistema de Referencia del Laboratorio (Sistema-L) y en el Sistema de Referencia del Centro de Masas (Sistema–C).

Sistema de Referencia del Laboratorio

Supongamos que chocan dos discos o esferas de masas m1 y m2 y radios r1 y r2.

Se denomina parámetro de impacto b a la distancia entre la dirección de la velocidad del primer disco u1 y el centro del segundo disco que suponemos inicialmente en reposo.

b=(r1+r2)·sinθ2

Las velocidades de los discos antes del choque respecto del sistema de ejes X e Y

u 1 = u 1 cosθ i ^ + u 1 sinθ j ^ u 2 =0

Las velocidades de discos después del choque respecto del sistema de ejes X e Y

v 1 = v 1 cos( θ 1 + θ 2 ) i ^ + v 1 sin( θ 1 + θ 2 ) j ^ v 2 = v 2 i ^

El principio de conservación del momento lineal se escribe

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2

o bien,

m 1 u 1 cosθ2 = m 2 v 2 + m 1 v 1 cos(θ2+θ1 ) m 1 u 1 sinθ2 = m 1 v 1 sin(θ2+θ1 )

El coeficiente de restitución nos mide el cociente cambiado de signo, entre la velocidad relativa de alejamiento a lo largo del eje X y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo eje.

e= v 2 v 1 cos( θ2+θ1 ) u 1 cosθ2

Dado el parámetro de impacto b obtenemos el ángulo θ2. De la segunda y tercera ecuación, podemos despejar el ángulo entre las direcciones de las velocidades de los discos después del choque

tan( θ2+θ1 )= m 1 + m 2 m 1 e m 2 tanθ2 v 1 = u 1 sinθ2 sin(θ2+θ1 ) v 2 = m 1 u 1 (1+e)cosθ2 m 1 + m 2

Choque elástico

Cuando los discos tienen la misma masa  m1=m2, y el choque es elástico e=1. El ángulo que forman las direcciones de las velocidades después del choque es θ12=90º, y sus módulos son, respectivamente

v 1 = u 1 sinθ2 v 2 = u 1 cosθ2 b=( r 1 + r 2 )sinθ2φ=90θ2

Descripción en el Sistema de Referencia del Centro de Masas

La velocidad del centro de masas es el cociente entre el momento lineal total P y la masa del sistema de partículas

v cm = P m 1 + m 2 = m 1 u 1 cos θ 2 m 1 + m 2 i ^ + m 1 u 1 sin θ 2 m 1 + m 2 j ^

Las velocidades iniciales de las partículas en el Sistema-C son

u 1c = u 1 v c = m 2 u 1 m 1 + m 2 (cos θ 2 i ^ +sin θ 2 j ^ )  u 2c = u 2 v c = m 1 u 1 m 1 + m 2 (cos θ 2 i ^ +sin θ 2 j ^ ) 

Las velocidades finales del las partículas en el Sistema-L son

v 1 = m 1 e m 2 m 1 + m 2 u 1 cos θ 2 i ^ + u 1 sin θ 2 j ^ v 2 = m 1 u 1 (1+e)cos θ 2 m 1 + m 2 i ^

Las velocidades finales del las partículas en el Sistema-C son

v 1c = v 1 v c = m 2 u 1 m 1 + m 2 (e·cos θ 2 i ^ +sin θ 2 j ^ ) v 2c = v 2 v c = m 1 u 1 m 1 + m 2 (ecos θ 2 i ^ sin θ 2 j ^ )

Comprobamos que se cumple el principio de conservación del momento lineal en el Sistema-C

m 1 v 1c + m 2 v 2c =0 m 1 u 1c + m 2 u 2c =0

La energía perdida en la colisión Q es la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque bien referidas al Sistema-L o al Sistema-C. Pero es mucho más fácil calcular esta diferencia en el Sistema-C.

Q= 1 2 m 1 v 1c 2 + 1 2 m 2 v 2c 2 1 2 m 1 u 1c 2 1 2 m 2 u 2c 2 = 1 2 ( e 2 1 ) m 1 m 2 m 1 + m 2 u 1 2 cos 2 θ2

Ejemplos

1.-Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve con 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección inicial.

Los datos son

u 1 =0.4· i ^ u 2 =0 v 1 =0.2cos40· i ^ +0.2sin40· j ^

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

0.2· u 1 =0.2· v 1 +0.3· v 2

y despajemos la velocidad v 2 de la segunda partícula después del choque

v 2 =0.034· i ^ 0.039· j ^

El módulo de la velocidad es  v2=0.05 m/s, el ángulo que forma con el eje X es θ=-48.6º

La energía que se pierde en la colisión es

Q= 1 2 0.3 v 2 2 + 1 2 0.2 v 1 2 1 2 0.2 u 1 2 =0.012J

2.-Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg inicialmente en reposo. Si el choque es elástico y la primera partícula se ha desviado 50º de la dirección original del movimiento, calcular la velocidad de cada partícula después del choque

Los datos son

u 1 =2· i ^ u 2 =0 v 1 = v 1 cos50· i ^ + v 1 sin50· j ^

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal y despajemos la velocidad v 2 de la segunda partícula después del choque

5· u 1 =5· v 1 +8· v 2

Si el choque es elástico la energía cinética de las partículas no cambia

1 2 5 u 1 2 = 1 2 5 v 1 2 + 1 2 8 v 2 2

En la ecuación de la conservación del momento lineal, despejamos v 2 y calculamos el cuadrado de su módulo

v 2 = (105 v 1 cos50) 8 i ^ + 5 v 1 sin50 8 j ^

Nos queda la ecuación de segundo grado

65 v 1 2 100 v 1 cos5060=0

3.- Datos del choque

El ángulo θ2 que forma la dirección de la velocidad de la segunda partícula después del choque es

b=(r1+r2)·sinθ2

0.8=2·sinθ2, θ2=23.6º

Calculamos el ángulo φ que forma la dirección de la velocidad de la primera partícula

tan(θ2+θ1 )= m 1 + m 2 m 1 e m 2 tanθ2 θ2+θ1 =90º θ1 =66.4º

Calculamos la velocidad de la primera partícula después del choque

v 1 = u 1 sinθ2 sin(θ2+θ1 ) v 1 =1.4m/s

Calculamos la velocidad de la segunda partícula después del choque

v 2 = m 1 u 1 (1+e)cosθ2 m 1 + m 2 v 2 =3.2m/s

4.-Datos del choque

Resultados

0.8=2·sinθ2, θ2=23.6º

θ1=97.8º

v1=1.64 m/s, v2=2.03 m/s

Calculamos la energía perdida en la colisión

Q= 1 2 2 v 2 2 + 1 2 1 v 1 2 1 2 1 u 1 2 =0.65 J

O bien, por la fórmula

Q= 1 2 ( e 2 1 ) m 1 m 2 m 1 + m 2 u 1 2 cos 2 θ2 Q=0.65 J

Solución con MATLAB

Definimos una función a la que se le pasa la velocidad inicial u1 de la primera partícula (la segunda estáen reposo, u2=0), el coeficiente e de restitución, el parámetro de impacto, b, el cociente m2/m1 entre las masas de las dos partículas. La función devuelve la velocidad v1 y v2 y dirección θ1 y θ2 de cada una de las partículas tras el choque

Cuando el parámetro de impacto, b=0, tenemos un choque frontal, que se ha descrito en la página anterior.

function [v1,fi1,v2,fi2] = choque_2(u1,e,b,masa)
%choques frontales
    if b<1e-5
        v2=(1+e)*u1/(1+masa);
        v1=v2-e*u1;
        if v1<0
			fi1=pi;
        else
			fi1=0;
        end        
         fi2=0;
    else
%choques no frontales
        fi2=asin(b/2);   %discos iguales de 1 de radio
        if abs(1-e*masa)<1e-5
            angulo=pi/2;
        else
            temp=(1+masa)*tan(fi2)/(1-e*masa);
            angulo=atan(temp);
            if temp<0
                angulo=pi+angulo;
            end
        end
        fi1=angulo-fi2;
        v1=u1*sin(fi2)/sin(fi1+fi2);
        v2=v1*cos(fi1+fi2)+e*u1*cos(fi2);
    end
    v1=abs(v1);
end
m1=1;
u1=3.5;
m2=2;  %partícula 2 en reposo, u2=0
u2=0;
e=0.9; %coeficiente de restitución
b=0.8; %parámetro de impacto

[v1,fi1,v2,fi2]=choque_2(u1,e,b,m2/m1);
fprintf('Velocidad %1.2f de la partícula 1, %3.2f
 dirección\n',v1,fi1*180/pi);
fprintf('Velocidad %1.2f de la partícula 2, %3.2f
 dirección\n',v2,fi2*180/pi);
Q=0.5*(1-e^2)*m1*m2*u1^2*(cos(fi2))^2/(m1+m2);
labels = {'Ek partícula 1','Ek partícula 2','Energía perdida'};
X=[m1*v1^2/2,m2*v2^2/2,Q];
pie(X,labels)
Velocidad 1.64 de la partícula 1, 97.85 dirección
Velocidad 2.03 de la partícula 2, 23.58 dirección

En el diagrama de tarta vemos como se reparte la energía inicial del sistema de dos partículas: energía cinética de la primera partícula, energía cinética de la segunda partícula, energía Q perdida en el choque

choques3.gif (907 bytes)

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el choque en el Sistema-L del laboratorio. Una cruz de color rosa representa la posición del centro de masas del sistema formado por las dos partículas interactuantes. A la izquierda, observamos las energías de las partículas en un diagrama en forma de tarta. Cuando el choque es elástico, la energía inicial es igual a la energía final. Cuando el choque es inelástico (coeficiente de restitución menor que la unidad) la energía inicial es mayor que la final.

Para observar el choque en el Sistema-C activamos el botón de radio titulado S.R. c.m. Para volver al Sistema-L activamos el botón de radio titulado S.R. Lab.

Se proporcionan los datos correspondientes a la velocidad de las partículas antes del choque y después del choque en el Sistema–L, así como las direcciones de las partículas después del choque. Se representan también los momentos lineales en forma de vectores antes del choque y después del choque. De este modo, el lector puede comprobar de forma visual la conservación del momento lineal.

La misma información que se proporciona del choque en el Sistema-L también se proporciona en el Sistema-C.