Modelo unidimensional del movimiento de un cuerpo en el seno de un fluido viscoso

Cuando un cuerpo se mueve en el seno de un fluido experimenta una fuerza de rozamiento que depende de su velocidad, la forma funcional depende del número de Reynolds.

La fuerza de rozamiento como vamos a comprobar en esta página, se debe a las colisiones entre el cuerpo y las moléculas del medio.

El modelo unidimensional consta de un cuerpo de masa M y velocidad inicial V0 que choca elásticamente con las partículas del medio inicialmente en reposo, de masas m<M. Las partículas del medio se suponen situadas en una línea recta e igualmente espaciadas tal como se muestra en la figura

Primera colisión

Choque elástico de un cuerpo de masa M y velocidad V0 con una partícula de masa m en reposo

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, despajamos la velocidad del cuerpo después del choque V1 y la velocidad de la partícula después del choque v1.

V 1 = Mm M+m V 0 v 1 = 2M M+m V 0

Como v1>V1, la primera partícula del medio choca con una segunda partícula inicialmente en reposo.

Cuando una partícula de masa m y velocidad v1 choca con una partícula idéntica de masa m en reposo, la primera partícula permanece en reposo después del choque y la segunda partícula, adquiere el momento lineal de la primera.

Este proceso se repite con el resto de las partículas del medio. El momento lineal perdido por el cuerpo en la primera colisión se va transfiriendo de partícula en partícula por medio en los sucesivos choques entre las mismas.

Segunda colisión

El cuerpo que se mueve con velocidad V1 después del primer choque, vuelve a experimentar una segunda colisión con la primera partícula en reposo.

La velocidad del cuerpo V2  y de la primera partícula v2 después del choque son, respectivamente

V 2 = Mm M+m V 1  =  ( Mm M+m ) 2   V 0 v 2 = 2M M+m V 1 = 2M M+m Mm M+m V 0

El cuerpo transfiere una parte de su momento lineal a la primera partícula. Esta partícula que se mueve después del choque, más deprisa v2>V2 que el cuerpo, choca con la segunda partícula en reposo, trasfiriéndole la totalidad de su momento lineal, la segunda partícula choca con la tercera y así, sucesivamente.

N-colisión

El cuerpo va reduciendo su velocidad V2<V1<V0 a la vez que va transfiriendo momento lineal a las partículas del medio.

La velocidad del cuerpo después de N colisiones es

V N =  ( Mm M+m ) N V 0

Suponiendo que la densidad (lineal) del medio es ρ uniforme, el número de partículas que hay en una longitud x es ρx. El número de choques que experimenta el cuerpo después de desplazarse una distancia x en el interior del medio es N= ρx, y su velocidad será

  V(x)=  ( Mm M+m ) ρx V 0 =  ( 1r 1+r ) ρx V 0 r= m M

La velocidad del cuerpo disminuye exponencialmente con x.

V(x)= V 0 exp(kx)k=ρln( 1+r 1r )

En la figura, se representa la velocidad del cuerpo V en función de x para dos valores de r=m/M.

Cuando mayor sea la masa del cuerpo M, (más pequeño r) más penetra en el medio hasta que finalmente se para (teóricamente, cuando x→∞)

La fuerza de rozamiento

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza sobre el cuerpo F=Ma

a= dV dt = dV dx dx dt =V dV dx =V(k) V 0 exp(kx)=k V 2 =ρln( 1+r 1r )· V 2

La fuerza de rozamiento F=-γV2 es proporcional al cuadrado de la velocidad V , donde la constante γ de proporcionalidad vale

γ=ρMln( 1+r 1r )=ρ m r ln( 1+r 1r )

En la figura, se representa la constante γ en función de r.

Actividades

Se introduce

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Observamos los sucesivos choques entre el cuerpo (color rojo) y la primera partícula del medio (color azul) y los choques entre partículas pintadas de diversos colores.

Se representa la velocidad V del cuerpo en función del desplazamiento x.

Referencias

Molina M. I., Body motion in a one-dimensional resistive medium. Am. J. Phys. 66 (11) November 1998, pp. 973-974