Choques en un carril

Supongamos dos partículas de masas m1 y m2 que llevan la misma velocidad v0 y se dirigen al final del carril, tal como se muestra en la figura.

Primero, analizamos por separado los dos fenómenos que pueden ocurrir en esta experiencia:

Choque con el extremo del carril

Cuando la partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 choca con el final del carril cambia el sentido y el módulo de su velocidad a v1=-eu1, siendo e el coeficiente de restitución.

Choque de las dos partículas

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

y de la definición del coeficiente de restitución e

-e(u1-u2)=v1-v2

Despejamos las velocidades después del choque v1 y v2

v 1 = ( m 1 m 2 e) u 1 + m 2 (1+e) u 2 m 1 + m 2 v 2 = m 1 (1+e) u 1 +( m 2 m 1 e) u 2 m 1 + m 2

Movimiento de las partículas

La partícula de masa m1 se dirige hacia el extremo del carril con velocidad -v0, choca y cambia su velocidad a ev0

Posteriormente chocan las dos partículas con velocidades iniciales u1=ev0 y u2=-v0

v 1 = e m 1 m 2 ( e 2 +e+1) m 1 + m 2 v 0 v 2 = m 1 (2+e)e m 2 m 1 + m 2 v 0

La masa m1 permanece en reposo v1=0 después del choque si

m1=m2(e2+e+1)/e

Si el choque es elástico e=1, m1=3m2, v2=2v0. Toda la energía inicial se transfiere a la partícula de masa m2.

Si el choque no es elástico, por ejemplo e=0.8, m1=3.05m2, v2=1.44v0

Si m1<3m2, la partícula de masa m1 choca una segunda vez con el final del carril. Se aproxima a la partícula m2 con velocidad -ev1

Las velocidades de las dos partículas después de esta segunda colisión, con u1=-ev1 y u2=v2, son

v 3 = ( m 1 m 2 e)e v 1 + m 2 (1+e) v 2 m 1 + m 2 = m 1 m 2 (3 e 3 +4 e 2 +3e) m 1 2 e 2 m 2 2 ( e 4 + e 3 + e 2 +e+1) ( m 1 + m 2 ) 2 v 0 v 4 = m 1 (1+e)e v 1 +( m 2 m 1 e) v 2 m 1 + m 2 = m 1 m 2 ( e 4 +2 e 3 +3 e 2 +4e) m 1 2 (2 e 3 +3 e 2 ) m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 2 v 0

Cuando e=1, la partícula de masa m1 permanecerá en reposo tras la segunda colisión si m1=0.528 m2

Cuando m1 es pequeña frente a m2, puede experimentar múltiples colisiones con el final del carril y con m2.

Ejemplo:

La partícula m1 choca con el final del carril y rebota con velocidad

v1=-eu1=0.8 m/s

Esta es la velocidad inicial u1=0.8 de la partícula m1 cuando choca con la partícula m2

Las velocidades después del primer choque son:

v 1 = (0.51.0·0.8)0.8+1.0(1+0.8)(1.0) 0.5+1.0 =1.36 v 2 = 0.5(1+0.8)0.8+(1.00.5·0.8)(1.0) 0.5+1.0 =0.08

La partícula m1 se dirige hacia el final del carril y rebota con velocidad u1=-ev1=1.088 m/s

La partícula m1 choca por segunda vez con la partícula m2 cuya velocidad inicial u2=0.08 m/s

v 1 = (0.51.0·0.8)1.088+1.0(1+0.8)0.08 0.5+1.0 =0.1216 v 2 = 0.5(1+0.8)1.088+(1.00.5·0.8)0.08 0.5+1.0 =0.6848

La partícula m1 se dirige hacia el final del carril y rebota con velocidad u1=-ev1=0.0973m/s

Ahora, ambas partículas se dirigen a lo largo del eje X hacia la derecha, la velocidad de m1 (0.0973) es menor que la velocidad de m2  (0.6848) por lo que ya no hay más choques. Estas son las velocidades finales de las dos partículas.

La energía inicial y final del sistema formado por las dos partículas es

E i = 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 E i = 1 2 0.5· 1.0 2 + 1 2 1.0· 1.0 2 =0.75J E f = 1 2 0.5· 0.0973 2 + 1 2 1.0· 6848 2 =0.24J

Se ha perdido energía en los sucesivos choques entre las partículas y de la primera con el final del carril.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos los choques de la primera partícula contra el final del carril y el choque entre las dos partículas.

Los datos de las velocidades de las dos partículas aparecen en la parte superior.

Una barra dividida nos indica:

Cuando el choque es elástico, e=1, la energía inicial es igual a la final.


Referencias

Cross R., Vertical bounce of two vertically aligned balls. Am. J. Phys. 75 (11) November 2007, pp 1009-1016