Choques en un carril

Supongamos dos partículas de masas m1 y m2 que llevan la misma velocidad v0 y se dirigen al final del carril, tal como se muestra en la figura.

Primero, analizamos por separado los dos fenómenos que pueden ocurrir en esta experiencia:

Choque con el extremo del carril

Cuando la partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 choca con el final del carril cambia el sentido y el módulo de su velocidad a v1=-eu1, siendo e el coeficiente de restitución.

Choque de las dos partículas

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

y de la definición del coeficiente de restitución e

-e(u1-u2)=v1-v2

Despejamos las velocidades después del choque v1 y v2

v 1 = ( m 1 m 2 e) u 1 + m 2 (1+e) u 2 m 1 + m 2 v 2 = m 1 (1+e) u 1 +( m 2 m 1 e) u 2 m 1 + m 2

Movimiento de las partículas

La partícula de masa m1 se dirige hacia el extremo del carril con velocidad -v0, choca y cambia su velocidad a ev0

Posteriormente chocan las dos partículas con velocidades iniciales u1=ev0 y u2=-v0

v 1 = e m 1 m 2 ( e 2 +e+1) m 1 + m 2 v 0 v 2 = m 1 (2+e)e m 2 m 1 + m 2 v 0

La masa m1 permanece en reposo v1=0 después del choque si

m1=m2(e2+e+1)/e

Si el choque es elástico e=1, m1=3m2, v2=2v0. Toda la energía inicial se transfiere a la partícula de masa m2.

Si el choque no es elástico, por ejemplo e=0.8, m1=3.05m2, v2=1.44v0

Si m1<3m2, la partícula de masa m1 choca una segunda vez con el final del carril. Se aproxima a la partícula m2 con velocidad -ev1

Las velocidades de las dos partículas después de esta segunda colisión, con u1=-ev1 y u2=v2, son

v 3 = ( m 1 m 2 e)e v 1 + m 2 (1+e) v 2 m 1 + m 2 = m 1 m 2 (3 e 3 +4 e 2 +3e) m 1 2 e 2 m 2 2 ( e 4 + e 3 + e 2 +e+1) ( m 1 + m 2 ) 2 v 0 v 4 = m 1 (1+e)e v 1 +( m 2 m 1 e) v 2 m 1 + m 2 = m 1 m 2 ( e 4 +2 e 3 +3 e 2 +4e) m 1 2 (2 e 3 +3 e 2 ) m 2 2 ( m 1 + m 2 ) 2 v 0

Cuando e=1, la partícula de masa m1 permanecerá en reposo tras la segunda colisión si m1=0.528 m2

Cuando m1 es pequeña frente a m2, puede experimentar múltiples colisiones con el final del carril y con m2.

Ejemplo:

La partícula m1 choca con el final del carril y rebota con velocidad

v1=-eu1=0.8 m/s

Esta es la velocidad inicial u1=0.8 de la partícula m1 cuando choca con la partícula m2

Las velocidades después del primer choque son:

v 1 = (0.51.0·0.8)0.8+1.0(1+0.8)(1.0) 0.5+1.0 =1.36 v 2 = 0.5(1+0.8)0.8+(1.00.5·0.8)(1.0) 0.5+1.0 =0.08

La partícula m1 se dirige hacia el final del carril y rebota con velocidad u1=-ev1=1.088 m/s

La partícula m1 choca por segunda vez con la partícula m2 cuya velocidad inicial u2=0.08 m/s

v 1 = (0.51.0·0.8)1.088+1.0(1+0.8)0.08 0.5+1.0 =0.1216 v 2 = 0.5(1+0.8)1.088+(1.00.5·0.8)0.08 0.5+1.0 =0.6848

La partícula m1 se dirige hacia el final del carril y rebota con velocidad u1=-ev1=0.0973m/s

Ahora, ambas partículas se dirigen a lo largo del eje X hacia la derecha, la velocidad de m1 (0.0973) es menor que la velocidad de m2  (0.6848) por lo que ya no hay más choques. Estas son las velocidades finales de las dos partículas.

La energía inicial y final del sistema formado por las dos partículas es

E i = 1 2 m 1 u 1 2 + 1 2 m 2 u 2 2 E i = 1 2 0.5· 1.0 2 + 1 2 1.0· 1.0 2 =0.75J E f = 1 2 0.5· 0.0973 2 + 1 2 1.0· 6848 2 =0.24J

Se ha perdido energía en los sucesivos choques entre las partículas y de la primera con el final del carril.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos los choques de la primera partícula contra el final del carril y el choque entre las dos partículas.

Los datos de las velocidades de las dos partículas aparecen en la parte superior.

Una barra dividida nos indica:

Cuando el choque es elástico, e=1, la energía inicial es igual a la final.


Choques elásticos

Supongamos que la partícula 1 está inicialmente en reposo a una distancia del extremo del carril y la partícula 2 se le proporciona una velocidad v0<0. La secuencia es:

hasta que las velocidades v1 y v2 son ambas positivas, alejándose del extremo del carril.

Vamos a determinar el número de choques entre las dos partículas y de rebotes de la primera con el extremo del carril en función del parámetro k=(m2-m1)/(m2+m1), relacionado con las masas de las partículas

Choque elástico entre las dos partículas

Cuando el choque es elástico, el coeficiente de restitución e=1.

Las velocidades de las partículas antes del choque son u1 y u2. Después del choque elástico las velocidades v1 y v2 de las partículas serán

v 1 = m 2 m 1 m 1 + m 2 u 1 + 2 m 2 m 1 + m 2 u 2 v 2 = 2 m 1 m 1 + m 2 u 1 + m 2 m 1 m 1 + m 2 u 2

La partícula de masa m2 se mueve inicialmente con velocidad u2=-v0 hacia la izquierda y la partícula de masa m1 está en reposo. Para que se mueva en el mismo sentido después del choque, v2<0 la masa m2>m1. Cuando m2=m1, la partícula de masa m2 se detiene, v2=0 y la partícula de masa m1 adquiere la velocidad inicial v0.

Expresamos las ecuaciones en forma matricial y definimos la matriz S del choque

( v 1 v 2 )=( k 1+k 1k k )( u 1 u 2 ),k= m 2 m 1 m 1 + m 2

con 0≤k≤1

v=S·u

Rebote con el exteremo del carril

La partícula de masa m1 rebota elásticamente en el extremo del carril, invirtiendo el sentido de su velocidad de -v1 a v1

Definimos la matriz de rebote R, que afecta solamente a la velocidad v1 de la primera partícula, v'=R·v, dejando la segunda v2 inalterada

( v ' 1 v ' 2 )=( 1 0 0 1 )( v 1 v 2 )

n choques y n rebotes

Después de n choques y n rebotes, las velocidades de las partículas serán

v'=(RS)(RS)....(RS)v0=(RS)nv0

Las propiedades de las matrices S y R son

R·R=I (matriz unidad)

>> syms k;
>> R=[-1,0;0,1];
>> R*R
ans 
     1     0
     0     1

S·S=I

>> S=[-k,1+k;1-k,k];
>> >> simplify(S*S)
ans =
[ 1, 0]
[ 0, 1]

(R·S)·(S·R)=I

>> simplify((R*S)*(S*R))
ans =
[ 1, 0]
[ 0, 1]

Un resultado importante, R·S+S·R=2k·I

( 1 0 0 1 )( k 1+k 1k k )+( k 1+k 1k k )( 1 0 0 1 )=2k( 1 0 0 1 )

>> R*S+S*R
ans =
[ 2*k,   0]
[   0, 2*k]

En el paréntesis de la izquierda vemos los polinomios de Chebyshev de segunda especie Un(x) y en el de la derecha Un-1(x)

( RS ) 1 = U 1 (k)I U 0 (k)( SR ) ( RS ) 2 = U 2 (k)I U 1 (k)( SR ) ( RS ) 3 = U 3 (k)I U 2 (k)( SR ) ( RS ) 4 = U 4 (k)I U 3 (k)( SR ) ( RS ) 5 = U 5 (k)I U 4 (k)( SR ) ..... ( RS ) n = U n (k)I U n1 (k)( SR )

La partícula 1 está inicialmente en reposo y la 2 se dirige hacia la pared con velocidad v0<0. Las velocidades finales de las partículas v1 y v2 después de n choques y n rebotes con el extremo del carril, son

( v 1 v 2 )= ( RS ) n ( 0 v 0 ) ( v 1 v 2 )={ U n ( 1 0 0 1 ) U n1 ( k 1+k 1k k )( 1 0 0 1 ) }( 0 v 0 ) { v 1 =( k+1 ) U n1 v 0 v 2 =( U n k U n1 ) v 0

Si después de n choques y n rebotes, las velocidades finales son positivas, v1>0, v2>0, pueden ocurrir dos casos:

  1. Si v1<v2, las partículas ya no vuelven a interaccionar, v1 y v2 son las velocidades finales

  2. Si v1>v2, las partículas experimentan un choque adicional, las velocidades finales v1 y v2 se calculan del siguiente modo:

  3. ( v 1 v 2 )= ( RS ) n S( 0 v 0 ) ( v 1 v 2 )={ U n ( 1 0 0 1 ) U n1 ( k k+1 k1 k )( 1 0 0 1 ) }( k 1+k 1k k )( 0 v 0 ) { v 1 =( k+1 ) U n v 0 v 2 =( k U n U n1 ) v 0

Número de choques y número de rebotes en función del parámetro k

Para representar gráficamente un polinomio Un(x), utilizaremos la función recursiva

function y=chebyshev_2(n,x) %n=0,1,2,3...
    if n==0
        y=ones(1,length(x));
    elseif n==1
        y=2*x;
    else
        y=2*x.*chebyshev_2(n-1,x)-chebyshev_2(n-2,x);
    end
end

Para calcular mediante roots de MATLAB las raíces de un polinomio Un(x), utilizaremos la función

function p=chebypoly_2(n) %n es grado 1,2...
    p=zeros(n,1);
    p0=[0];
    p1=[1];
    for i=2:n+1
        p=2*[p1,0]-[0,p0];
        p0=[0,p1];
        p1=p;
    end
end

Ambas funciones se han definido en la página titulada Polinomios de Chebyshev

En el programa interactivo al final de esta página, observamos que cuando k es pequeño se producen dos choques y dos rebotes

Creamos un script, para representar en el eje horizontal el parámetro 0≤k≤1, y en el eje vertical n el número de rebotes y choques. n+½ significa n+1 choques y n rebotes

k1=0;
for n=2:7
 %n choques y n rebotes
    k=cos(2*pi/(2*n+1)); %raíz
    line([k,k],[0,n],'lineStyle','--','color','k')
    line([k1,k],[n,n],'lineWidth',1.5,'color','r')
    k1=k;
    %n+1 choques y n rebotes
    k=cos(pi/(n+1));
    line([k,k],[0,n+1/2],'lineStyle','--','color','k')
    line([k1,k],[n+1/2,n+1/2],'lineWidth',1.5,'color','b')
    k1=k;
end
grid on
xlabel('k')
ylabel('n')
title('Choques y rebotes')

El número π

Cuando m2/m1=102,104,106..., o bien, cuando

k= m 2 m 1 m 2 + m 1 = m 2 m 1 1 m 2 m 1 +1

El número n de colisiones y n rebotes, en total 2n, se acerca a un múltiplo de π

k=cos( 2π 2n+1 ) n= π arccos(k) 1 2

format long g
for m2_1=[1,1e2,1e4,1e6,1e8, 1e10]
    k=(m2_1-1)/(m2_1+1);
    N=2*pi/acos(k)-1; %choques y rebotes
    disp([m2_1,round(N)/sqrt(m2_1)])
end
                         1                         3
                       100                       3.1
                     10000                      3.13
                   1000000                     3.141
                 100000000                    3.1415
               10000000000                   3.14158

Probamos en el programa interactivo, más abajo, m2/m1=100 o bien, k=0.980198, obtenemos 16+15=31 choques y rebotes. Ahora, con m2/m1=10 000 o bien, k=0.99980002, obtenemos 157+157=314 choques y rebotes. Como vemos se precisa un cociente m2/m1 muy grande para obtener apenas unos pocos decimales de π

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

En la parte superior derecha, se muestra el número de choques y rebotes. En la parte, superior, las velocidades de las partículas v1 y v2

Comprobar que cuando se introduce en el control los valores límites de k: 0.309, 0.5, 0.6235, 0.7071..., la primera partícula finaliza su movimiento en reposo

Referencias

De este último apartado

J. R. Drugowich, Felicio D. M. Redondo. Linear collisions revisited. Am. J. Phys. 49(2) Feb. 1981 pp. 147-151