Choques elásticos en un carril

En el instante t=0, las posiciones de las partículas de masas mx y my son x0 e y0, (0≤x0 < y0<L) sus velocidades iniciales son ux=u0 y uy=0, tal como se muestra en la figura.

Primer choque

En el instante t=(y0-x0)/ux tiene lugar el choque elástico

Las velocidades de las partículas después del choque son:

v x = 2 m y u y +( m x m y ) u x m x + m y v y = 2 m x u x +( m y m x ) u y m x + m y

Después del choque puede ocurrir

Ponemos el contador parcial de tiempos a cero para calcular la posición del segundo choque.

Segundo choque

  1. Si las dos partículas se desplazan hacia la derecha después del choque vx>0, vy>0, la segunda se refleja en el extremo x=L, y choca con la primera.

  2. En el instante t de encuentro

    x= y 0 + v x ty=L v y ( t L y 0 v y )

    donde (L-y0)/vy es el tiempo que tarda la segunda partícula en reflejarse en el extremo x=L y cambiar el signo de la velocidad. El punto de encuentro se obtiene igualando x=y.

    t 1 =2 L y 0 v x + v y x 1 = y 1 = 2L v x + y 0 ( v y v x ) v x + v y

    Las velocidades iniciales antes del próximo choque son

    ux=vx, uy=-vy

  3. Si después del primer choque, la partícula incidente se desplaza hacia la izquierda vx<0 y la segunda partícula se desplaza hacia la derecha vy>0, pueden ocurrir tres casos:

  4. Conocidas las velocidades iniciales ux y uy antes del segundo choque, en la posición x1=y1 se calcula las velocidades de las dos partículas vx y vy después del choque. Un razonamiento similar al empleado a lo largo de este apartado, nos conduce a predecir la posición del tercer choque y así, sucesivamente

Ejemplo

Primer choque

En el instante t=(y0-x0)/ux=0.4 s tiene lugar el primer choque en la posición y0=0.5

Las velocidades de las partículas después del choque son:

v x = 2 m y u y +( m x m y ) u x m x + m y =0.111 v y = 2 m x u x +( m y m x ) u y m x + m y =0.889 

La partícula incidente se desplaza hacia la izquierda y la segunda partícula se desplaza hacia la derecha. Como la velocidad de la primera partícula es pequeña y la de la segunda es grande, la segunda rebotará en el extremo derecho del carril x=1.0 y alcanzará a la primera antes de que rebote en el extremo izquierdo x=0.

La ecuación del movimiento de las partículas son:

x=0.5-0.111·t
y
=1.0-0.889·(t-0.5/0.889)

Igualando x=y, se obtiene el instante y la posición del segundo choque

x1=y1=0.357

Las velocidades de las partículas antes del segundo choque son:

ux=-0.111, uy=-0.889

Segundo choque

Las velocidades de las partículas después del choque son:

vx=-0.975, vy=-0.198

Las dos partículas se mueven hacia la izquierda. La primera partícula se refleja en el extremo izquierdo del carril, x=0, y choca con la segunda partícula.

La ecuación del movimiento de las partículas son

x=0.975·(t-0.357/0.975)
y
=0.357-0.198 ·t

Igualando x=y, se obtiene el instante y la posición del tercer choque

x2=y2=0.237

Las velocidades de las partículas antes del segundo choque son:

ux=0.975, uy=-0.198

Tercer choque

Las velocidades de las partículas después del choque son:

vx=-0.328, vy=0.845

La primera partícula se dirige hacia el extremo izquierdo, la segunda hacia el extremo derecho. Las dos partículas  se reflejan en los extremos del carril antes del cuarto choque

La ecuación del movimiento de las partículas son

x=0.328·(t-0.237 /0.328)
y
=1.0-0.845(t-0.763/0.845)

Igualando x=y, se obtiene el instante y la posición del cuarto choque

x3=y3=0.322

Las velocidades de las partículas antes del segundo choque son:

ux=0.328, uy==-0.845

Cuarto choque

Las velocidades de las partículas después del choque son:

vx=-0.975, vy=0.197

La primera partícula se dirige hacia el extremo izquierdo, se refleja y choca con la segunda partícula....

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa los sucesivos choques y reflexiones de las partículas en los extremos del carril.

En la parte superior del programa interactivo se representa:

Probar los siguientes casos:


Referencias

De Luca R. Elastic collisions of classical point particles on a finite frictionless linear track with perfectly reflecting endpoints. Eur. J. Phys. 27 (2006) pp. 437-449