Secuencia de colisiones de tres partículas
Choque de dos partículas de la misma masa
Aplicamos el principio de conservación del momento lineal al sistema aislado formado por dos partículas de la misma masa m y con velocidades iniciales u y u' de la misma dirección y sentido. Supondremos que u>u'
mu+mu'=mv+mv'
y de la definición del coeficiente de restitución e
-e(u-u')=v-v'
Despejamos las velocidades v y v' después del choque
En forma matricial
Secuencia de colisiones
Consideramos un ciclo completo, cuando chocan la primera y la segunda partícula y a continuación, la segunda con la tercera
Un nuevo ciclo se podría repetir si vuelven a chocar la primera y segunda partícula
Determinaremos el valor del coeficiente de restitución e crítico para que se complete un ciclo o para que se repita
1.-Primer ciclo
La primera partícula choca con la segunda, sus velocidades iniciales y finales son, respectivamente.
>> syms e; >> M=[1-e,1+e;1+e,1-e]/2; >> V=M*[1;0]; >> v1=V(1) v1 =1/2 - e/2 >> v2=V(2) v2 =e/2 + 1/2
La segunda partícula choca con la tercera, sus velocidades iniciales y finales son, respectivamente.
>> V=M*[v2;0]; >> v2=V(1) v2 =-(e/2 - 1/2)*(e/2 + 1/2) >> v3=V(2) v3 =(e/2 + 1/2)^2
La velocidad de la primera partícula u1=(1-e)/2 es mayor que la de la segunda, u2=(1-e2)/4 por lo que vuelven a chocar, completándose el primer ciclo
Como e<1 se cumple la desigualdad
2.-Segundo ciclo
La primera partícula choca con la segunda, sus velocidades iniciales y finales son, respectivamente.
>> V=M*[v1;v2]; v1=collect(V(1)) v1 =- e^3/8 + e^2/8 - (3*e)/8 + 3/8 >> factor(v1) ans =[ -1/8, e - 1, e^2 + 3] >> v2=collect(V(2)) v2 =e^3/8 - (3*e^2)/8 - e/8 + 3/8 >> factor(v2) ans =[ 1/8, e - 3, e - 1, e + 1]
La segunda y tercera partícula chocan si u2>u3, y esto se produce siempre que el coeficiente de restitución e sea menor que cierto valor crítico
Si se cumple esta condición, e≤0.1716, la segunda partícula choca con la tercera, sus velocidades iniciales y finales son, respectivamente.
>> V=M*[v2;v3]; >> v2=collect(V(1))16*collect v2 =- e^4/16 + (3*e^3)/8 + e^2/4 + e/8 + 5/16 >> factor(v2) ans =[ -1/16, e + 1, e^3 - 7*e^2 + 3*e - 5] >> v3=collect(V(2)) v3 =e^4/16 - e^3/4 - (3*e^2)/8 + e/4 + 5/16 >> factor(v3) ans =[ 1/16, e - 1, e - 5, e + 1, e + 1]
Se completaría el segundo ciclo, si la primera y segunda partícula volviesen a chocar, u1>u2, para ello el coeficiente de restitución tiene que ser menor que cierto valor crítico
>> 16*collect(v1-v2) ans =e^4 - 8*e^3 - 2*e^2 - 8*e + 1 >> roots([1,-8,-2,-8,1]) ans = 8.3524 + 0.0000i -0.2361 + 0.9717i -0.2361 - 0.9717i 0.1197 + 0.0000i
La menor raíz real positiva es e=0.1197
Si se cumple la condición, e≤0.1197, la primera partícula choca con la segunda, completándose el segundo ciclo.
3.-Tercer ciclo
La primera partícula choca con la segunda, sus velocidades iniciales y finales son, respectivamente.
>> V=M*[v1;v2]; >> v1=collect(V(1)) v1 =- e^5/32 + (7*e^4)/32 + (3*e^3)/16 + (7*e^2)/16 - (5*e)/32 + 11/32 >> v2=collect(V(2)) v2 =e^5/32 - (9*e^4)/32 + e^3/16 - e^2/16 - (3*e)/32 + 11/32
La segunda y tercera partícula chocan si u2>u3, y esto se produce siempre que el coeficiente de restitución e sea menor que cierto valor crítico
>> 32*collect(v2-v3) ans =e^5 - 11*e^4 + 10*e^3 + 10*e^2 - 11*e + 1 >> roots([1,-11,10,10,-11,1]) ans = 9.8990 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 0.1010 + 0.0000i
La menor raíz real positiva es e=0.1010
Si se cumple la condición, e≤0.1010, la segunda partícula choca con la tercera, sus velocidades iniciales y finales son, respectivamente
Se completaría el tercer ciclo, si la primera y segunda partícula volviesen a chocar, u1>u2, para ello el coeficiente de restitución tiene que ser menor que cierto valor crítico
>> 64*collect(v2-v1) ans =- e^6 + 14*e^5 - 31*e^4 - 28*e^3 - 31*e^2 + 14*e - 1 >> coef=sym2poly(v1-v2)*64 coef = 1 -14 31 28 31 -14 1 >> roots(coef) ans = 10.8961 + 0.0000i 3.9678 + 0.0000i -0.6039 + 0.7971i -0.6039 - 0.7971i 0.2520 + 0.0000i 0.0918 + 0.0000i
La menor raíz real positiva es e=0.0918
Si se cumple la condición, e≤0.0918, la primera partícula choca con la segunda, completándose el tercer ciclo.
y así sucesivamente...
Comprobamos que se conserva el momento lineal
>>> simplify(v1+v2+v3) ans =1
...-n ciclo
Reunimos las porciones de código en un solo script
format compact; syms e; %coeficiente de restitución %Matriz de choque M=[1-e,1+e;1+e,1-e]/2; %primer choque de la partícula 1 con la 2 V=M*[1;0]; disp('1.-choque 1-->2') v1=collect(V(1)) v2=collect(V(2)) %choque de la partícula 2 con la 3 V=M*[v2;0]; disp('1.-choque 2-->3') v2=collect(V(1)) v3=collect(V(2)) %Sucesivos choques for i=1:5 %choque de 1 con 2 V=M*[v1;v2]; fprintf('%1i .-choque 1-->2\n',i+1) v1=collect(V(1)) v2=collect(V(2)) r=roots((sym2poly(v2-v3))); e1=min(abs(r)); veloc=subs(v2,e,e1); fprintf('choque 1 y 2 si: e<%1.4f, v=%1.4f\n',e1,veloc) %choque de 2 con 3 V=M*[v2;v3]; fprintf('%1i .-choque 2-->3\n',i+1) v2=collect(V(1)) v3=collect(V(2)) r=roots((sym2poly(v1-v2))); e1=min(abs(r)); veloc=subs(v2,e,e1); fprintf('choque 1 y 2 si: e<%1.4f, v=%1.4f\n',e1,veloc) end
1.-choque 1-->2 v1 =1/2 - e/2 v2 =e/2 + 1/2 1.-choque 2-->3 v2 =1/4 - e^2/4 v3 =e^2/4 + e/2 + 1/4 2 .-choque 1-->2 v1 =- e^3/8 + e^2/8 - (3*e)/8 + 3/8 v2 =e^3/8 - (3*e^2)/8 - e/8 + 3/8 choque 1 y 2 si: e<0.1716, v=0.3431 2 .-choque 2-->3 v2 =- e^4/16 + (3*e^3)/8 + e^2/4 + e/8 + 5/16 v3 =e^4/16 - e^3/4 - (3*e^2)/8 + e/4 + 5/16 choque 1 y 2 si: e<0.1197, v=0.3317 3 .-choque 1-->2 v1 =- e^5/32 + (7*e^4)/32 + (3*e^3)/16 + (7*e^2)/16 - (5*e)/32 + 11/32 v2 =e^5/32 - (9*e^4)/32 + e^3/16 - e^2/16 - (3*e)/32 + 11/32 choque 1 y 2 si: e<0.1010, v=0.3337 3 .-choque 2-->3 v2 =- e^6/64 + (3*e^5)/16 - (17*e^4)/64 - e^3/4 - (3*e^2)/64 + e/16 + 21/64 v3 =e^6/64 - (5*e^5)/32 + (3*e^4)/64 + e^3/16 - (25*e^2)/64 + (3*e)/32 + 21/64 choque 1 y 2 si: e<0.0918, v=0.3333 4 .-choque 1-->2 v1 =- e^7/128 + (13*e^6)/128 - (21*e^5)/128 - (31*e^4)/128 - (35*e^3)/128 + (39*e^2)/128 - (7*e)/128 + 43/128 v2 =e^7/128 - (15*e^6)/128 + (41*e^5)/128 + (25*e^4)/128 + (27*e^3)/128 + (11*e^2)/128 - (5*e)/128 + 43/128 choque 1 y 2 si: e<0.0864, v=0.3334 4 .-choque 2-->3 v2=... v3=.... choque 1 y 2 si: e<0.0830, v=0.3333 5 .-choque 1-->2 v1 =... v2 =... choque 1 y 2 si: e<0.0807, v=0.3333 5 .-choque 2-->3 v2 =... v3 =... choque 1 y 2 si: e<0.0790, v=0.3333 6 .-choque 1-->2 v1 =... v2 =... choque 1 y 2 si: e<0.0778, v=0.3333 6 .-choque 2-->3 v2 =... v3 =... choque 1 y 2 si: e<0.0769, v=0.3333
La sucesión de valores críticos del coeficiente de restitución (señalados con letra negrita) son: 0.1716, 0.1197, 0.1010, 0.0918, 0.0864, 0.0830, 0.0807,0.0790, 0.0778, 0.0769...
Representamos las velocidades finales v1, v2 y v3 de las tres partículas en función del coeficiente de restitución e
%datos de los valores críticos del coeficiente de restitución, %obtenidos en con el script anterior ec=[0.1716, 0.1197, 0.1010, 0.0918, 0.0864, 0.0830, 0.0807,0.0790, 0.0778, 0.0769]; vel=[0.3431, 0.3317, 0.3337, 0.3333, 0.3334, 0.3333, 0.3333, 0.3333, 0.3333, 0.3333]; j=1; %contador restitucion=linspace(0.07,0.18,300); u=zeros(length(restitucion),3); %n=zeros(length(restitucion),1); for e=restitucion; %coeficiente de restituación %situación inicial v1=1; v2=0; v3=0; %velocidades M=[1-e,1+e;1+e,1-e]/2; %primer choque de la partícula 1 con la 2 V=M*[v1;v2]; v1=V(1); v2=V(2); %choque de la partícula 2 con la 3 V=M*[v2;v3]; v2=V(1); v3=V(2); %Sucesivos choques for i=1:100 %choque de 1 con 2 V=M*[v1;v2]; v1=V(1); v2=V(2); if v3>v2 %no choca la 2 y la 3 break; end %choque de 2 con 3 V=M*[v2;v3]; v2=V(1); v3=V(2); if v1<v2 %no choca la 1 y la 2 break; end end u(j,1)=v1;u(j,2)=v2;u(j,3)=v3; %n(j)=i; j=j+1; end hold on plot(ec,vel,'o','markersize',3,'markeredgecolor','k','markerfacecolor','k') plot(restitucion,u(:,1),restitucion,u(:,2),restitucion,u(:,3)) hold off legend('e','1','2','3', 'location','northwest') grid on xlabel('e') ylabel('v') title('choques')
La gráfica completa, e<1.
La región de interés, alrededor de e=0.1. Como vemos en esta gráfica, v2 y v3 coinciden para e=0.1716, v1 y v2 coinciden para e=0.1197, v2 y v3 coinciden para e=0.1010, y así, sucesivamente
Como podemos apreciar, las velocidades finales de las partículas cumplen que v1≤v2≤v3
Cuando el coeficiente de restitución es pequeño, menor que 0.1, las tres partículas tienen aproximadamente la misma velocidad, 1/3
Referencias
Arne Nordmark, Hanno Essén. An impacting linear three body system. Eur. J. Phys. 39(2018) 015001