Secuencia de colisiones elásticas (II)

En la páginaSecuencia de colisiones elásticas (I) , hemos estudiado el papel jugado por la partícula medidora de masa m2 en la secuencia de dos colisiones elásticas entre una partícula de masa m1 y otra de masa m3.
Fijados m1 y m3, la masa de la partícula mediadora m2 que hace que la velocidad v3 de la tercera partícula sea máxima es

m 2 = m 1 m 3

Podemos escribir la media geométrica de la forma alternativa

m 1 m 2 = m 2 m 3 =α

Secuencia de n colisiones elásticas

En esta página, las partículas mediadoras en vez de tener una masa arbitraria, tienen una masa que forma una progresión geométrica en la que el primer término es m y el último término es M=mαn

Las masas del conjunto de n+1 partículas son
m, , 2, mα3n-1, mαn=M

Todas las partículas están inicialmente en reposo excepto la incidente de masa M.

Consideremos el caso particular de una secuencia de n=4 colisiones entre 5 partículas para generalizar posteriormente para cualquier otro caso.

Para obtener la velocidad de las dos partículas después del choque, aplicamos el principio de conservación del momento lineal y la condición de choque elástico, es decir, la suma de la energía cinética de las dos partículas se mantiene constante.

  1. Choque de la primera partícula de masa M=mα4 y la partícula mediadora de masa 3

  2. v 4 = m α 4 m α 3 m α 4 +m α 3 u 4 u 3 = 2m α 4 m α 4 +m α 3 u 4 v 4 = α1 α+1 V u 3 = 2α α+1 V

  3. Choque de la primera partícula mediadora de masa3 y la partícula mediadora de masa 2

  4. v 3 = m α 3 m α 2 m α 3 +m α 2 u 3 u 2 = 2m α 3 m α 3 +m α 2 u 3 v 3 = α1 α+1 2α α+1 V u 2 = ( 2α α+1 ) 2 V

  5. Choque de la segunda partícula mediadora de masa2 y la partícula mediadora de masa

  6. v 2 = m α 2 mα m α 2 +mα u 2 u 1 = 2m α 2 m α 2 +mα u 2 v 2 = α1 α+1 ( 2α α+1 ) 2 V u 1 = ( 2α α+1 ) 3 V

  7. Choque de la tercera partícula mediadora de masa y la partícula final de masa m

  8. v 1 = mαm mα+m u 1 u= 2mα mα+m u 1 v 1 = α1 α+1 ( 2α α+1 ) 3 Vu= ( 2α α+1 ) 4 V

La velocidad de la última partícula de masa m después de la secuencia de cuatro choques es

u= ( 2 α+1 ) 4 M m V

Téngase en cuenta que M=mα4. En general, para una secuencia de n choques entre n+1 partículas la velocidad final es

u= ( 2 α+1 ) n M m VM= α n m

Ejemplo

Momento lineal inicial: MV=25·1=25 kg·m/s

Energía cinética inicial: 1 2 M V 2 = 1 2 25· 1 2 =12.5J

Vamos a determinar como se reparte la energía y el momento lineal entre las partículas después de los choques.

M=25; %Masa de la partícula incidente  
m=1; %Masa de la última partícula
n=4; %Número de partículas mediadoras n-1
V=1; %Velocidad inicial
disp('Momento lineal inicial')
M*V
disp('Energía cinética inicial')
M*V^2/2;
alfa=nthroot(M/m,n);

disp('Velocidades después de los choque')
v=((alfa-1)/(alfa+1))*(2*alfa/(alfa+1)).^(0:n-1)*V
u=(2/(alfa+1))^n*(M/m)*V

disp('Momento lineal después de los choque')
p1=(m*alfa.^(n:-1:1)).*v
p2=m*u
disp('Momento lineal total después de los choque')
P=sum(p1)+p2
disp('Energía después de los choques')
E1=(m/2*alfa.^(n:-1:1)).*(v.^2)
E2=m*u^2/2
disp('Energía total después de los choque')
sum(E1)+E2
Momento lineal inicial
ans =    25
Energía cinética inicial
ans =   12.5000

Velocidades después de los choque
v =    0.3820    0.5279    0.7295    1.0081
u =    3.6475

Momento lineal después de los choque
p1 =    9.5492    5.9017    3.6475    2.2542
p2 =    3.6475
Momento lineal total después de los choque
P =   25.0000
Energía después de los choques
E1 =    1.8237    1.5576    1.3304    1.1363
E2 =    6.6519
Energía total después de los choque
ans =   12.5000

Recogemos los resultados del cálculo en una tabla

Partícula Índice i Masa i Velocidad después del choque Momento lineal Energía cinética
Incidente 4 25 0.382 9.549 1.824
Mediadora 3 11.18 0.528 5.902 1.558
Mediadora 2 5 0.729 3.647 1.330
Mediadora 1 2.24 1.008 2.254 1.136
Última 0 1 3.647 3.647 6.652
Total       25.0 12.5

El momento lineal total de todas estas partículas es

P= i=1 n m α i v i +mu= i=1 n m α i α1 α+1 ( 2α α+1 ) ni V+ MV ( 2 α+1 ) n =mV α1 α+1 α n 1 n ( 2 α+1 ) ni +MV ( 2 α+1 ) n =MV α1 α+1 1 n ( 2 α+1 ) ni +MV ( 2 α+1 ) n

Tenemos la suma de una progresión geométrica cuyo primer término es 1, la razón es 2/(α+1) y n es el número de términos

P=MV α1 α+1 1 ( 2 α+1 ) n 1 2 α+1 +MV ( 2 α+1 ) n = MV( 1 ( 2 α+1 ) n )+MV ( 2 α+1 ) n =MV

Energía cinética

E k = i=1 n 1 2 m α i v i 2 + 1 2 m u 2 = i=1 n 1 2 m α i ( α1 α+1 ( 2α α+1 ) ni V ) 2 + 1 2 m ( M m V ( 2 α+1 ) n ) 2 = 1 2 ( α1 α+1 ) 2 V 2 i=1 n m α n α ni ( 2 α+1 ) 2n2i + 1 2 M 2 m V 2 ( 2 α+1 ) 2n = 1 2 M ( α1 α+1 ) 2 V 2 i=1 n α ni ( 2 α+1 ) 2n2i + 1 2 M 2 m V 2 ( 2 α+1 ) 2n

Tenemos la suma de una progresión geométrica cuyo primer término es 1, la razón es α ( 2 α+1 ) 2 y n es el número de términos

E k = 1 2 M ( α1 α+1 ) 2 V 2 1 α n ( 2 α+1 ) 2n 1α ( 2 α+1 ) 2 + 1 2 M 2 m V 2 ( 2 α+1 ) 2n = 1 2 M V 2 ( 1 α n ( 2 α+1 ) 2n )+ 1 2 Mm α n m V 2 ( 2 α+1 ) 2n = 1 2 M V 2

Secuencia de infinitos choques

Cuando n es muy grande, es decir, n→∞, calculamos el límite

C=lim n ( 2 1+ (M/m) 1/n ) n

Hacemos el cambio x=1/n

C= lim x0 ( 2 1+ (M/m) x ) 1/x lnC= lim x0 1 x ln( 2 1+ (M/m) x )

Aplicamos la regla de l’Hopital

lnC= lim x0 (M/m) x ln(M/m) 1+ (M/m) x = ln(M/m) 2 =ln 1 M/m C= m M

La velocidad final de la última partícula de masa m después de la secuencia de infinitos choques es

u = m M M m V= M m V

Paradoja
El cambio de momento lineal es la diferencia entre le momento lineal inicial y el momento lineal de la última partícula

MVm u =MV mM V

De mismo modo, el cambio de energía es

1 2 M V 2 1 2 m u 2 = 1 2 M V 2 1 2 m M m V 2 =0

Toda la energía cinética de la partícula incidente de masa M y velocidad V ha sido transferida a la última partícula de masa m, a través de una secuencia infinita de choques elásticos.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa la secuencia de choques, los cambios en el momento lineal y la energía cinética de cada una de las partículas del sistema.


Referencias

Bashkansky E. Netzer N. The role of mediation in collisions and related analogs.Am. J. Phys. 74 (12) December 2006, pp. 1083-1087