Duración del choque

Consideremos la colisión elástica entre una esfera de masa m incidente con velocidad v contra otra esfera idéntica que está en reposo.

Por la conservación del momento lineal

mv=mv1+mv2

Por la conservación de la energía

1 2 m v 2 = 1 2 m v 1 2 + 1 2 m v 2 2

La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es

v2=0, v1=v que son los datos de partida y v2=v, v1=0

En un choque de dos esferas idénticas, una de las cuales está en reposo, hay un intercambio de momento lineal, la primera se lo cede a la segunda, quedando aquella en reposo.

La teoría de la colisión elástica entre dos esferas se debe a H. Hertz y se explica en el Volumen 7 del Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz. La conclusión es que la ley de de la fuerza de interacción no es lineal

F=k x 3/2

donde k está relacionado con el módulo del Young, el coeficiente de Poisson del material elástico y el radio de la esfera y x es la deformación

Experiencia

Sean dos esferas idénticas de masa m, cuando están en reposo, las dos esferas están en contacto y la línea que une sus centros es horizontal. Se desvía una de las esferas de su posición de equilibrio, de modo que su centro se eleva una altura h. Se suelta y a continuación, choca con la esfera en reposo. La velocidad de la esfera antes del choque es

1 2 m v 2 =mgh

La velocidad del centro de masas de ambas esferas iguales es v/2. La velocidad de cada una de las esferas relativa al centro de masas es v/2 y de sentido contrario. Este Sistema de Referencia del c.m. es el adecuado para describir el choque de las dos esferas y la deformación de las mismas.

La energía cinética relativa al c.m. de cada una de las esferas antes del choque es

E k = 1 2 m ( v 2 ) 2 = 1 4 mgh

La energía cinética del c.m. es

E cm = 1 2 2m ( v 2 ) 2 = 1 2 mgh

La energía total, suma de la energía cinética de cada una de las dos esferas relativas al c.m. y la energía cinética del c.m. es mgh

Supondremos que los cuerpos deformados (véase la figura a la derecha) se comportan como muelles no lineales cuyo comportamiento se describe por una ley de fuerza F=-kxn-1. La energía potencial correspondiente a esta fuerza conservativa es

E p (0) E p (x)= 0 x k x n1 dx E p (x)= k n x n

Se supone que cuando las esferas no se han deformado x=0, Ep(x)=0. El principio de conservación de la energía para cada una de las esferas cuando se han deformado x se escribe

1 2 m ( dx dt ) 2 + k n x n = E k

La máxima deformación x0 se obtiene cuando la velocidad es nula dx/dt=0.

k n x 0 n = E k

Duración del choque

Integramos la ecuación diferencial para calcular la duración del choque T, el doble desde que las esferas entran en contacto x=0 hasta que alcanzan la máxima deformación x=x0.

t(x)= 0 t dt = m 2 0 x dx E k k n x n t(x)= m 2 E k 0 x dx 1 k x n /n k x 0 n /n

Definimos una nueva variable z, tal que x=z·x0, de modo que cuando x varía entre 0 y x0, z varía entre 0 y 1

t(z)= x 0 2 gh 0 z dz 1 z n

La duración T de choque es

T=2 x 0 2 gh 0 1 dz 1 z n T=2 ( 1 4 mgh n k ) 1/n 2 gh γ T= 8 g γ ( nmg 4k ) 1/n h (2n) / 2n

Esta es la relación entre la duración del choque T y la altura inicial h de la esfera que impacta. El parámetro γ guarda el valor de la integral definida de entre 0 y 1

Se mide la duración del choque T para varias alturas h de la esfera que impacta, se ajustan los datos experimentales mediante el procedimiento de mínimos cuadrados para obtener el exponente n de la ley de fuerza y la constante k.

En la experiencia que se describe en el artículo mencionado en las referencias, se han utilizado una esfera de acero de masa m=225.8 g, obteniéndose un exponente de la ley de fuerza n-1=2.51-1≈3/2 y una constante k=4.553·1010 kg/m(3/2).

Impulso

Vamos a dibujar la función F(t), fuerza en función del tiempo t para una altura h determinada. Calcularemos el impulso y lo compararemos con la variación de momento lineal.

Dado h calculamos la máxima deformación x0

x 0 = ( 1 4 mgh n k ) 1/n

Para cada zi=xi/x0, i=1...N, comprendidos entre 0 y 1 calculamos la fuerza Fi

F i =k x i n1 =k x 0 n1 z i n1

Para cada zi calculamos el tiempo ti

t i = x 0 2 gh 0 z i dz 1 z n

Hemos calculado la mitad de la curva F(t) desde 0 hasta el tiempo T/2. La otra mitad es simétrica

Representamos la fuerza F(t), en N dividida entre 1000, en función del tiempo, desde t=0 hasta t=T en µs,

m=0.2258; %masa esfera
k=4.553e10; %constante elástica
n=2.51; %exponente de la ley de fuerza

h=0.12; %altura
x0=(m*9.8*h*n/(4*k))^(1/n);
z1=linspace(0,1,200);
fuerza=k*(x0*z1).^(n-1);
t=zeros(1,length(z1));
i=1;
f=@(x) 1./sqrt(1-x.^n);
for z=z1
  t(i)=x0*sqrt(2/(9.8*h))*integral(f,0,z);
  i=i+1;
end
tt=[t,2*t(end)-flip(t)]/1e-6; %en micro segundos
ff=[fuerza,flip(fuerza)]/1000; 
plot(tt,ff);
grid on
xlabel('t (\mus)')
ylabel('F (N)/1000')
title('Fuerza en función del tiempo')

La duración del choque es de 106.5 µs y la máxima deformación x0=2.78·10-5 m

>> tt(end)
ans =  106.4796
>> x0
x0 =   2.7772e-05

Calculamos el impulso, la integral definida para una función F(t). En este caso, para una tabla de datos, la suma de las áreas de los trapecios

I= 0 T F(t)dt

>> trapz(tt,ff)/1000
ans =    0.3462

En una colisión elástica, como hemos explicado al principio de esta página, la esfera que impacta se detiene después del choque. La variación de momento lineal es

Δp=mv=m 2gh

>> m*sqrt(2*9.8*h)
ans =    0.3463

Comprobamos que el impulso de la fuerza F(t) que actúa durante un tiempo T sobre la esfera que impacta, es igual a la variación de su momento lineal

Referencias

R. Hessel, A. C. Perinotto, R. A. M. Alfaro, A. A. Freschi. Force-versus-time curves during collisions between two identical steel balls. Am. J. Phys. 74 (3) march 2006, pp. 176-179

Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoría de la elasticidad. Edt. Reverté, (1969), pp. 42-4