Una pelota baja rebotando en los peldaños de una escalera

Primera parábola

Sea una escalera cuyos peldaños tienen una longitud L y una altura H. Se lanza una pelota desde la posición (x₀, 0) con velocidad inicial vertical v₀ y una velocidad horizontal u.

La pelota describe una trayectoria parabólica de ecuaciones

${\begin{cases} x = x_{0} + u t \\ y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} \end{cases}$

El tiempo que tarda en regresar a y=0 es $t_{f} = \frac{2 v_{0}}{g}$ y su posición es $x = x_{0} + u \frac{2 v_{0}}{g}$

Si x<L, la pelota rebota en el mismo peldaño, tal como se ve en la figura de la izquierda, en caso contrario, rebotará en algún peldaño más abajo situado en y=-nH, tal como se ve en la figura de la derecha para n=2.

El tiempo que emplea la pelota en alcanzar la posición y=-nH es

$t_{f} = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g n H}}{g}$

En ese tiempo t_f la pelota se ha desplazado horizontalmente x₀+u·t_f.

Donde n es el valor entero que se obtiene al resolver la ecuación

$n L = x_{0} + u (\frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g n H}}{g})$

Esta ecuación se puede resolver de forma numérica, poniéndola en la forma n=f(n), utilizando el procedimiento de iteracción

L=1; %longitud peldaño
H=0.5; %altura peldaño
u=1; %velocidad horizontal
v0=3; %velocidad vertical
x0=0.5; %posición inicial y0=0.
 
f=@(n) (x0+(u/9.8)*(v0+sqrt(v0^2+2*9.8*H*n)))/L;
n0=0;
while (1)
   n=f(n0);
   if abs(n-n0)<0.01
       break;
   end
    n0=n;
end
disp([n, floor(n)])

1.2795    1.0000

El comando floor, obtiene la parte entera de un número decimal. Alternativamente, se despeja n de la ecuación de segundo grado

$\begin{array}{l} \frac{g}{u} (n L - x_{0}) - v_{0} = \sqrt{v_{0}^{2} + 2 g n H} \\ {(\frac{g}{u} (n L - x_{0}) - v_{0})}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g n H \\ L^{2} \frac{g}{u^{2}} n^{2} - 2 (x_{0} L \frac{g}{u^{2}} + L \frac{v_{0}}{u} + H) n + x_{0}^{2} \frac{g}{u^{2}} + 2 x_{0} \frac{v_{0}}{u} = 0 \end{array}$

L=1; %longitud peldaño
H=0.5; %altura peldaño
u=1; %velocidad horizontal
v0=3; %velocidad vertical
x0=0.5; %posición inicial y0=0.

n=((x0*L*9.8/u^2+v0*L/u+H)+sqrt((x0*L*9.8/u^2+v0*L/u+H)^2-
L^2*9.8*(x0^2*9.8/u^2+2*v0*x0/u)/u^2))/(L^2*9.8/u^2);
disp([n, floor(n)])

1.2795    1.0000

Segunda parábola

La pelota llega al punto de impacto (x₀+u·t_f, -n·H), con velocidad horizontal u y con velocidad vertical v_f=v₀-g·t_f

Cuando la pelota rebota, la velocidad horizontal u no cambia y la velocidad vertical cambia de módulo y de sentido, v₀=-e·v_f, siendo e el coeficiente de restitución.

Movemos el origen al peldaño donde ha impactado la pelota, que comienza a describir una nueva trayectoria parabólica que parte de la posición x=x₀+u·t_f-nL, y=0, con velocidad horizontal u y velocidad inicial vertical v₀=-e·v_f.

Actividades

Se introduce

La posición horizontal x₀ de laznzamiento de la pelota, en el control titulado Posición
La velocidad inicial vertical v₀ de laznzamiento de la pelota, en el control tituladoVelocidad
La velocidad horizontal u se ha fijado en 1 m/s
El coeficiente de restitución, e en el control titulado Coeficiente de restitución
La altura H del peldaño, en el control titulado Altura peldaño
La longitud del peldaño L se ha fijado en 1 m

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Posición x₀ Velocidad v₀
Coeficiente restitución e
Altura peldaño H

Referencias

Márton Gruiz, Tamás Meszéna, Tamás Tél. Chaotic or just complicated?. Ball bouncing down the stairs. Eur. J. Phys. 38 (2017) 055003