Secuencia de colisiones elásticas (I)

Choque elástico de las dos primeras partículas

La primera partícula lleva una velocidad u1 y la segunda está inicialmente en reposo u2=0.

  1. Principio de conservación del momento lineal

  2. m1u1 =m1v1+m2v2

  3. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

  4. 1 2 m 1 u 1 2 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v1 y v2 después del choque

v 1 = ( m 1 m 2 ) u 1 m 1 + m 2 v 2 = 2 m 1 u 1 m 1 + m 2

Para un sistema de dos partículas, la máxima velocidad que alcanza la segunda partícula es 2u1 cuando la masa de la segunda partícula m2 es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1. Lo apreciamos mejor si escribimos v2 en función de x=m2/m1.

v 2 = 2 u 1 1+x lim x0 v 2 =2 u 1

Cuando m1=m2 la velocidad de la primera partícula después del choque es cero v1=0, la primera partícula se detiene y la segunda partícula adquiere la velocidad (y la energía) de la primera partícula, v2=u1. Pero esta no es la máxima velocidad que puede adquirir la segunda partícula después del choque.

Choque elástico con una tercera partícula

Consideremos ahora el caso del choque entre la segunda partícula de masa m2 que lleva una velocidad u2, y una tercera partícula de masa m3 inicialmente en reposo.

La velocidad inicial u2 de la segunda partícula es la final v2 que adquiere después del primer choque

u 2 = 2 m 1 u 1 m 1 + m 2

  1. Principio de conservación del momento lineal

  2. m2u2 =m2v2+m3v3

  3. En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

  4. 1 2 m 2 u 2 2 = 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 m 3 v 3 2

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v2 y v3 después del choque.

v 2 = ( m 2 m 3 ) u 2 m 2 + m 3 v 3 = 2 m 2 u 2 m 2 + m 3 = 2 m 2 ( m 2 + m 3 ) 2 m 1 u 1 ( m 1 + m 2 )

Máxima transferencia de velocidad

Fijados m1 y m3, vamos a determinar la masa de la partícula mediadora m2 que hace que v3 sea máximo. Para ello, derivamos v3 respecto de m2 e igualamos a cero. Después de hacer algunas operaciones se llega al siguiente resultado

d v 3 d m 2 = 4 m 1 u 1 ( m 2 2 + m 2 m 3 ) ( m 2 + m 3 ) 2 ( m 2 + m 1 ) 2 =0 m 2 = m 1 m 3

Se trata ahora de comprobar que es un máximo. Para ello, calculamos la derivada segunda de v3 respecto de m2 y comprobamos que es negativa cuando se cumple la condición de extremo.

d 2 v 3 d m 2 2 <0

Dados las masa de las tres partículas, m1, m2 y m3, el valor máximo de la velocidad v3 de la tercera partícula después del choque vale

v 3 = 4 m 1 m 1 m 3 u 1 ( m 1 m 3 + m 3 )( m 1 m 3 + m 1 )

Llamando x al cociente entre la masa de la tercera partícula y la primera x=m3/m1

  v 3 = 4 x u 1 ( x +x )( x +1 ) = 4 u 1 ( x +1 ) 2 lim x0 v 3 =4 u 1

Cuando x tiende a cero, es decir, cuando la masa m3 de la tercera partícula es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1, la velocidad v3 de la tercera partícula tiende hacia cuatro veces la velocidad inicial de la primera partícula u1.

Hemos comprobado que una segunda partícula interpuesta entre la primera y la tercera, permite incrementar la transferencia de velocidad entre ambas, por medio de dos choques elásticos, entre la primera y segunda partícula, y entre la segunda y tercera partículas.

Balance energético

La energía inicial de la primera partícula es   E 1 = 1 2 m 1 u 1 2

Después del primer choque entre la primera y segunda partícula, la energía se reparte ente la primera F1 y segunda partícula E2, de modo que E1=F1+E2

Después del segundo choque entre la segunda y tercera partícula, la energía cinética E2 de la segunda partícula se reparte entre la segunda F2 y tercera partícula E3, de modo que E2=F2+E3

Al finalizar el segundo choque, se cumplirá que E1=F1+ F2+ E3, siendo E1 la energía inicial de la primera partícula y F1, F2, E3 las energía finales de las tres partículas.

Actividades.

Se introduce

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Observamos, el choque entre la primera partícula y la segunda. A continuación, el choque entre la segunda y la tercera. No se consideran otros posibles choques entre las partículas.

En la parte superior, aparecen los datos de las velocidades de las partículas antes y después de los choques. Comprobamos que la velocidad v3 de la tercera partícula después del segundo choque es

v 3 = 4 m 1 m 2 ( m 2 + m 3 )( m 1 + m 2 ) u 1

Fijada la masa m1 de la primera partícula, vamos cambiando la masa m2 de la partícula intermedia hasta conseguir que la velocidad v3 de la tercera partícula después del segundo choque sea máxima.

Comprobaremos, que se cumple la condición de extremo   m 2 = m 1 m 3

Ejemplo 1

Sean las masas de las partículas

m1=25 kg
m3
=1 kg

Completamos una tabla de valores como la siguiente:

m2 (kg) v3 (m/s)
4 2.759
5 2.778
6 2.765

La velocidad máxima v3 de la tercera partícula se obtiene para el valor m2=5, tal como comprobamos a partir de la condición de extremo m 2 = 25·1 =5

Ejemplo 2:

Sean las masas de las partículas

m1=10000 kg
m2
=100 kg
m3
=1 kg

La masa de la segunda partícula m2 es tal que se cumple la condición de máximo de v3, Pero como m1 es muy grande comparado con m3 la velocidad v3 es muy cercana al valor de 4, que es la más alta velocidad que puede alcanzar la tercera partícula.

Ejemplo 3:

En la parte superior, aparece una barra horizontal dividida en dos porciones después del primer choque o en tres porciones después del segundo choque. Cada porción representa la energía cinética de las tres partículas.

Sean las masas de las partículas

m1=25 kg
m2
=5 kg
m3
=1 kg

La velocidad inicial de la primera partícula es u1=1.0, su energía cinética inicial es E1=12.5 J


Referencias

Fakhruddin H. Maximizing imparted speed in elastic collisions. The Physics Teacher, Vol 41, September 2003, pp. 338-33