Demostración de la conservación del momento lineal

Simulación de la cuna de Newton. Pulse el boton titulado   ►  

Choque de dos bolas

Consideremos primero el caso más simple, la colisión entre una bola de masa m incidente con velocidad v contra otra bola idéntica que está en reposo.

Por la conservación del momento lineal

mv=mv1+mv2

Por la conservación de la energía

1 2 m v 2 = 1 2 m v 1 2 + 1 2 m v 2 2

La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es

v2=0, v1=v que son los datos de partida y v2=v, v1=0

En un choque de dos bolas idénticas, una de las cuales está en reposo, hay un intercambio de momento lineal, la primera se lo cede a la segunda, quedando aquella en reposo.

En una sucesión de bolas, la primera choca con la segunda, la segunda bola choca con la tercera, etc. El momento lineal de la bola incidente se transfiere a la siguiente y así sucesivamente. Esto solamente ocurre si las bolas no están en contacto, en caso contrario el comportamiento es complejo.

La teoría de la colisión entre dos esferas elásticas se debe a H. Hertz y se explica en el Volumen 7 del Curso de Física Teórica de Landau y Lifshitz. La conclusión es que la ley de de la fuerza de interacción no es lineal

F=k x 3/2

Cadena de n-bolas en contacto

En este apartado, vamos a describir las ecuaciones del movimiento del centro de masas (c.m.) de cada una de las bolas, que forman parte de una cadena de n bolas elásticas en contacto.

Consideremos las fuerzas entre dos partículas unida por un muelle elástico.

En la parte superior se muestra el muelle sin deformar y en la parte inferior, el muelle comprimido (a la izquierda) y estirado (a la derecha). Las deformaciones del muelles son Δx=x-x0, donde x es la posición de la primera partícula (azul) cuando el muelle se ha deformado, y x0 es la posición de dicha partícula cuando el muelle está sin deformar. Lo mismo cabe decir de Δy. Las fuerza de interacción es el producto de la constante k del muelle por la deformación del muelle o diferencia entre la longitud sin deformar y la longitud del muelle deformado k(|Δx|+|Δy|) .

Consideremos un conjunto de cinco partículas unidas por muelles elásticos, en un instante inicial en el que los muelles están sin deformar (arriba), y en un instante tal (abajo) en el que la primera partícula se ha desplazado x1, la segunda x2, la tercera x3, la cuarta x4 y la quinta x5. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura, y se señalan los pares de fuerzas: la primera partícula ejerce una fuerza sobre la segunda y la segunda ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre la primera.

Supongamos que los muelles no son lineales, y su comportamiento está de acuerdo a una ley de fuerza cuyo exponente es r=3/2. Las ecuaciones del movimiento de cada una de las partículas son

m d 2 x 1 d t 2 =k ( x 1 x 2 ) r m d 2 x 2 d t 2 =k ( x 1 x 2 ) r k ( x 2 x 3 ) r m d 2 x 3 d t 2 =k ( x 2 x 3 ) r k ( x 3 x 4 ) r m d 2 x 4 d t 2 =k ( x 3 x 4 ) r k ( x 4 x 5 ) r m d 2 x 5 d t 2 =k ( x 4 x 5 ) r

Sumando miembro a miembro, comprobamos que la aceleración del centro de masas es cero, como corresponde a un sistema aislado formado por cinco partículas interactuantes.

El ejemplo de una cadena de cinco bolas se puede generalizar a una cadena de n bolas.

m d 2 x 1 d t 2 =k ( x 1 x 2 ) r m d 2 x 2 d t 2 =k ( x 1 x 2 ) r k ( x 2 x 3 ) r m d 2 x i d t 2 =k ( x i1 x i ) r k ( x i x i+1 ) r m d 2 x n d t 2 =k ( x n1 x n ) r

Tenemos un sistema de n ecuaciones diferenciales acopladas que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales

En el instante t=0,

Simulación

La simulación del comportamiento de la cadena de n-bolas idénticas se ha dividido en tres partes:

  1. Se desplaza la primera bola de la posición de equilibrio y se suelta. Si el c.m. de la bola asciende una altura h, la velocidad v de la primera bola en el momento en el que choca con la segunda bola en reposo es

  2. mgh= 1 2 m v 2 v= 2gh

    La bola incidente que cuelga de un hilo de longitud l se comporta como un péndulo, describiendo un MAS de amplitud θ0, tal que h=l-l·cosθ0

    La ecuación del MAS es θ= -θ0cos(ωt), con ω= g/l

    La primera bola choca con la segunda cuando ωt=π/2.

  3. Una vez que la bola incidente entra en contacto con la segunda bola, se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, para determinar el desplazamiento de cada una de las bolas y las velocidades de las mismas.

  4. Se representa, en el eje horizontal, el tiempo en 10-4 s, y en el eje vertical

  5. La última bola alcanza una velocidad vn en el momento en el que se separa de la penúltima bola n-1. Como ocurre con un péndulo su energía cinética se convierte en energía potencial cuando alcanza el máximo desplazamiento angular

  6. mgh'= 1 2 m v n 2  

    La bola final que cuelga de un hilo de longitud l se comporta como un péndulo, describiendo un MAS de amplitud θ0, tal que

    h’=l-l·cosθ0

    La ecuación del MAS es θ=θ0sin(ωt)

Propagación de la perturbación

El tiempo de propagación tp de la perturbación a lo largo de la cadena se define como el intervalo de tiempo que trascurre desde el contacto entre la primera y la segunda bola (t=0), y el instante de separación de las dos últimas bolas tp, es decir, el instante de la intersección del desplazamiento de la penúltima bola xn-1 y de la última bola xn, tal como se ve en la figura.

En el laboratorio, el tiempo de propagación se puede medir del siguiente modo: se pone en marcha un reloj electrónico cuando se cierra el circuito, en el momento en el que la primera y la segunda bola entran en contacto. El reloj se para, cuando se interrumpe el paso de la corriente eléctrica entre la penúltima y última bola, en el momento en el que dejan de estar en contacto.

Actividades

Se introduce

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Observamos las tres etapas de las que consta la simulación

  1. La bola incidente que se ha desplazado de modo que su centro está a una altura de 1 cm, se suelta y se mueve hasta que choca con la segunda bola. Su velocidad en el momento del choque es

  2. v= 2·9.8·0.01 =0.443 m/s

  3. Se calcula el desplazamiento y la velocidad de cada una de las bolas que forman la cadena. Se representa:

  4. A la derecha, se representa mediante un diagrama de barras, la energía cinética del c.m. del sistema formado por n-bolas, y se la compara con la energía cinética inicial (rectángulo de color negro). Vemos que la energía cinética disminuye ya que parte de la energía inicial se convierte en energía de deformación de las bolas elásticas y luego, aumenta, hasta que alcanza el valor inicial. Las pequeñas diferencias se pueden atribuir a la inexactitud de los procedimientos numéricos empleados.

    Los cambios de color de la barra nos suministran una imagen visual de la propagación de la perturbación a lo largo de la cadena de bolas.

    La segunda barra, representa el momento lineal del sistema formado por n-bolas, el momento lineal inicial está representado por un rectángulo de color negro. El momento lineal se propaga a lo largo de la cadena. El momento lineal final es aproximadamente igual al momento lineal inicial.

  5. La bola final se desplaza hasta que su centro se eleva a una altura h'.

Nota: Para describir las tres etapas se han tomado dos escalas de tiempo. Para describir el movimiento de la primera y última bola se ha tomado un intervalo de tiempo de 10-3 s. Para describir el movimiento de las n-bolas en contacto se ha tomado un intervalo de 10-6 s.

Referencias

Herman F, Seitz M., How the ball-chain work?. Am. J. Phys. 50 (11) November 1982, pp. 977-981

Landau L. D., Lifshitz E. M. Teoría de la elasticidad. Edt. Reverté, (1969), pp. 42-4