Choques frontales verticales

Supondremos que las dos pelotas se comportan como masas puntuales, es decir, que sus dimensiones son pequeñas comparadas con la altura h₀ desde la que dejan caer.

Vamos a describir en este apartado cada una de las etapas del movimiento de las dos pelotas:

Movimiento vertical de caída

Si ambas pelotas parten del reposo desde una altura h₀, las ecuaciones del movimiento son

$v = - g t y = h_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}$

Las pelotas llegan al suelo cuando y=0, es decir con una velocidad –v₀ tal que

$v_{0} = \sqrt{2 g h_{0}}$

Choque de la pelota grande con el suelo

La pelota grande choca con el suelo y rebota . De la definición de coeficiente de restitución, tendremos que la velocidad u₁ de la pelota grande después del choque es

u₁=e₁v₀

Siendo e₁ el coeficiente de restitución para el choque entre la pelota grande y el suelo.

Choque de la pelota grande con la pequeña

Tenemos que plantear las ecuaciones que describen el choque frontal entre dos partículas, una partícula (la pelota grande) de masa m₁ que lleva una velocidad u₁ hacia arriba, y otra partícula (la pelota pequeña) de masa m₂ que lleva una velocidad u₂=-v₀ hacia abajo, tal como se muestra en la figura.

Para calcular las velocidades v₁ y v₂ después del choque aplicamos:

el principio de conservación del momento lineal

m₁·u₁+m₂(-v₀)=m₁·v₁+m₂·v₂

y la definición de coeficiente de restitución

v₁-v₂=-e₂(u₁-(-v₀))

Siendo e₂ el coeficiente de restitución para el choque entre la pelota grande y la pequeña.

Para hacer más simple el análisis del problema supondremos que los coeficientes de restitución e₁≈e₂=e son prácticamente iguales.

m₁ev₀-m₂v₀=m₁·v₁+m₂·v₂v₁-v₂=-e(ev₀+v₀)

Despejamos de este sistema de dos ecuaciones las velocidades v₁ y v₂ después del choque

$v_{1} = \frac{m_{1} e - (1 + e + e^{2}) m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} v_{2} = \frac{m_{1} e (2 + e) - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$

Movimiento vertical ascendente

La pelota más grande asciende desde el suelo con velocidad inicial v₁ y la pelota pequeña con velocidad inicial v₂, las ecuaciones del movimiento para la primera son

$v = v_{1} - g t y = v_{1} t - \frac{1}{2} g t^{2}$

La máxima altura se alcanza cuando v=0.

$h_{1} = \frac{v_{1}^{2}}{2 g}$

La misma expresión se obtiene para la pelota pequeña

Casos particulares

Condición para que la pelota grande permanezca en reposo, v₁=0

En el caso de un choque elástico e=1, la velocidad v₁=0 se obtiene para m₁=3m₂. La pelota grande permanece en reposo sobre el suelo, cuando la masa de la pelota grande es el triple que el de la pequeña. La velocidad de la pelota pequeña es v₂=2v₀. La máxima altura que alcanza la pelota pequeña es por tanto, h₂=4h₀

En general, para que la pelota pequeña ascienda hasta una altura h₂>h₀ se tendrá que cumplirse que v₂>v₀, y ascenderá a la altura mayor posible si v₁=0, la pelota grande queda en reposo sobre el suelo.

Poniendo en la segunda ecuación (definición de coeficiente de restitución) que describe el choque frontal v₁=0, para que v₂>v₀ se tiene que cumplir que e²+e-1>0, es decir, e>0.618.

Para que la pelota grande permanezca en reposo en el suelo, v₁=0, la relación de masas m₁/m₂ para cualquier valor de e>0.618, deberá cumplir

$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{1 + e + e^{2}}{e}$

Para un valor típico e=0.9, m₁=3.011·m₂, la masa de la pelota grande m₁ es un poco más de tres veces la masa de la pelota pequeña. La velocidad de la pelota pequeña v₂=1.71v₀, y por tanto, h₂=2.92·h₀

Cuando la masa de la pelota pequeña es despreciable

Cuando la masa de la pelota pequeña es despreciable m₂<<m₁, para las colisiones elásticas e=1 se obtiene v₂≈3·v₀, De modo que, la altura que alcanza la pelota pequeña es h₂≈9·h₀.

Balance energético

La energía inicial de las partículas cuando están a una altura h₀ sobre el suelo es

E_i=(m₁+m₂)gh₀

La pelota más grande rebota contra el suelo y pierde una energía Q₁en el choque. La velocidad inicial es v₀ y la velocidad final e·v₀.

$Q_{1} = \frac{1}{2} m_{1} {(e v_{0})}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{0}^{2} = - \frac{1}{2} m_{1} (1 - e^{2}) v_{0}^{2}$

La pelota más pequeña llega al suelo con velocidad v₀ y choca con la pelota grande que ha rebotado llevando una velocidad ev₀. Durante el choquese pierde una energía

$Q_{2} = - \frac{1}{2} (1 - e^{2}) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {(e v_{0} - (- v_{0}))}^{2} = - \frac{1}{2} (1 - e^{2}) \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} {(1 + e)}^{2} v_{0}^{2}$

El resto de la energía E_f=E_i+Q₁+Q₂se convierte en energía cinética de las dos partículas que ascienden con velocidades v₁ y v₂ respectivamente.
Posteriormente, esta energía cinética se convierte en potencial cuando alcanzan las alturas máximas h₁ y h₂ respectivamente.

Si la pelota mayor queda en reposo sobre el suelo, v₁=0, la energía final E_f se convierte en energía potencial de pelota más pequeña cuando alcanza la altura máxima h₂.

Ejemplo

Supongamos que e=0.9 y m₁=3.011·m₂, la altura inicial es h₀=0.25 m

Energía inicial E_i=4.011·9.8·0.25=9.83 J
La velocidad de la pelota más grande al llegar al suelo es v₀=2.21 m/s.
Después de chocar con el suelo su velocidad es e·v₀=1.99 m/s. La pérdida de energía durante el choque es Q₁=-1.40 J
La pelota más pequeña llega al suelo con velocidad v₀=2.21 m/s y choca con la pelota grande después de rebotar. La pérdida de energía en el choque es Q₂=-1.26 J
La pelota grande permanece en reposo sobre le suelo. La energía de la pelota pequeña es E_f=9.83-1.40-1.26=7.16 J. La energía cinética de la pelota pequeña al nivel del suelo se convierte en energía potencial cuando alcanza la altura h₂=0.73 m.

Actividades

Se introduce

La masa m₁ de la pelota grande, un número mayor que la unidad, en el control titulado Masa grande.
La masa de la pelota pequeña m₂ se ha fijado en 1 kg.
El coeficiente de restitución e, un número menor que 1.0 y mayor que 0.6, en el control titulado Coef. restitución.
La altura inicial h₀, en cm, en el control titulado Altura.

Se pulsa en el botón titulado Nuevo

Por ejemplo

masa grande, m₂=200,
coeficiente de restitución, e=1.0,
altura inicial, h₀=10 cm.

Observar que la pelota pequeña (de color azul) alcanza una altura máxima h₂ cercana a los 90 cm

Introduzca un valor para el coeficiente de restitución e, cambie el valor de la masa m₁ de la pelota grande hasta conseguir que después de chocar con la pelota pequeña, permanezca en reposo sobre el suelo.

A la izquierda, observamos el movimiento vertical de la pelota grande (color rojo) y de la pelota pequeña (color azul).
En el centro, las barras indican la energía (cinética más potencial) de cada partícula y cómo se va trasformando.
A la derecha, se representa gráficamente, la velocidad de la pelota pequeña en función del tiempo.

Coef. restitución Altura
Masa grande

Choques verticales elásticos

En esta sección, vamos a estudiar los choques elásticos verticales entre dos y tres pequeñas pelotas y generalizaremos el resultado para el caso de n pelotas.

Dos pelotas

Las dos pelotas de masas m₁ (la inferior) y m₂ (superior) caen juntas desde una altura h₀, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v₀.
La pelota inferior de masa m₁ rebota elásticamente en el suelo invirtiendo el sentido de su velocidad.
La pelota inferior de masa m₁ y velocidad v₀ choca con la pelota superior de masa m₂ y velocidad –v₀. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v₁ y v₂.

Principio de conservación del momento lineal

m₁·v₀+m₂(-v₀)=m₁·v₁+m₂·v₂

Definición de coeficiente de restitución

v₁-v₂=-e(v₀-(-v₀))

Si el choque es elástico, e=1

v₁-v₂=-2v₀

Despejamos v₁ y v₂ del sistema de dos ecuaciones

$v_{1} = \frac{m_{1} - 3 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} v_{2} = \frac{3 m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$

Si m₁=m₂, v₂=v₀
Si m₁=3m₂, v₂=2v₀
Si m₁>>m₂ v₂=3v₀

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=9·h₀

Tres pelotas

Las tres pelotas de masas m₁ (la inferior) y m₂ (intermedia) y m₃ (superior) caen juntas desde una altura h₀, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v₀.
La pelota inferior de masa m₁ rebota elásticamente en el suelo, invirtiendo el sentido de su velocidad.
La pelota inferior de masa m₁ y velocidad v₀ choca con la pelota intermedia de masa m₂ y velocidad –v₀. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v₁ y v₂.

Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico

m₁·v₀+m₂(-v₀)=m₁·v₁+m₂·v₂v₁-v₂=-2v₀

Despejamos como antes, las velocidades v₁ y v₂ del sistema de dos ecuaciones

$v_{1} = \frac{m_{1} - 3 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} v_{2} = \frac{3 m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0}$

La pelota intermedia de masa m₂ y velocidad v₂ choca con la pelota superior de masa m₃ y velocidad –v₀. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son V₂ y v₃.

Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico

m₂·v₂+m₃(-v₀)=m₂·V₂+m₃·v₃V₂-v₃=-(v₂-(-v₀))

Despejamos como antes, las velocidades v₃ y V₂ del sistema de dos ecuaciones

$V_{2} = \frac{3 m_{1} m_{2} - m_{2}^{2} - 5 m_{1} m_{3} - m_{2} m_{3}}{(m_{1} + m_{2}) (m_{2} + m_{3})} v_{0} v_{3} = \frac{7 m_{1} m_{2} - m_{2}^{2} - m_{1} m_{3} - m_{2} m_{3}}{(m_{1} + m_{2}) (m_{2} + m_{3})} v_{0}$

Si m₁=m₂=m₃ entonces v₃=v₀
Si m₁>>m₂>>m₃ entonces v₃=7v₀

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=49·h₀

Cuatro pelotas

Si m₁>>m₂>>m₃>>m₄ entonces v₄=15v₀

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=225·h₀

n pelotas

Si m₁>>m₂…. >>m_n entonces v_n=(2ⁿ-1)v₀

Por ejemplo, si dejamos caer ocho pelotas desde un edificio muy alto de 100 m de altura, la velocidad al llegar al suelo es de

$v_{0} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 100} = 44.3 m/s$

Si las masas de las pelotas cumplen la condición de que

m₁>>m₂>>… >>m₈

la velocidad de rebote de la octava pelota es v₈=(2⁸-1)v₀=11289.3 m/s

que es mayor que la velocidad de escape v_e de un objeto de la superficie de la Tierra

$v_{e} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = 11191 m/s$

R=6370 km es el radio de la Tierra, M=5.98·10²⁴ kg es la masa de la Tierra y G=6.67·10^-11 N·m²/kg².

Referencias

Spradley J. Velocity amplification in vertical collisions. Am. J. Phys. 55 (2) February 1987, pp. 183-184

Anderson A. The cocktail (highball) problem. Phys. Educ 34 (2) March 1999, pp. 76-79