Choques frontales verticales

Supondremos que las dos pelotas se comportan como masas puntuales, es decir, que sus dimensiones son pequeñas comparadas con la altura h0 desde la que dejan caer.

Vamos a describir en este apartado cada una de las etapas del movimiento de las dos pelotas:

  1. Movimiento vertical de caída
  2. Si ambas pelotas parten del reposo desde una altura h0, las ecuaciones del movimiento son

    v=gty= h 0 1 2 g t 2

    Las pelotas llegan al suelo cuando y=0, es decir con una velocidad –v0 tal que

    v 0 = 2g h 0

  3. Choque de la pelota grande con el suelo
  4. La pelota grande choca con el suelo y rebota . De la definición de coeficiente de restitución, tendremos que la velocidad u1 de la pelota grande después del choque es

    u1=e1v0

    Siendo e1 el coeficiente de restitución para el choque entre la pelota grande y el suelo.

  5. Choque de la pelota grande con la pequeña
  6. Tenemos que plantear las ecuaciones que describen el choque frontal entre dos partículas, una partícula (la pelota grande) de masa m1 que lleva una velocidad u1 hacia arriba, y otra partícula (la pelota pequeña) de masa m2 que lleva una velocidad u2=-v0 hacia abajo, tal como se muestra en la figura.

    Para calcular las velocidades v1 y v2 después del choque aplicamos:

  7. Movimiento vertical ascendente
  8. La pelota más grande asciende desde el suelo con velocidad inicial v1 y la pelota pequeña con velocidad inicial v2, las ecuaciones del movimiento para la primera son

    v= v 1 gty= v 1 t 1 2 g t 2

    La máxima altura se alcanza cuando v=0.

    h 1 = v 1 2 2g

    La misma expresión se obtiene para la pelota pequeña

Casos particulares

  1. Condición para que la pelota grande permanezca en reposo, v1=0
  2. En el caso de un choque elástico e=1, la velocidad v1=0 se obtiene para m1=3m2. La pelota grande permanece en reposo sobre el suelo, cuando la masa de la pelota grande es el triple que el de la pequeña. La velocidad de la pelota pequeña es v2=2v0. La máxima altura que alcanza la pelota pequeña es por tanto, h2=4h0

    En general, para que la pelota pequeña ascienda hasta una altura h2>h0 se tendrá que cumplirse que v2>v0, y ascenderá a la altura mayor posible si v1=0, la pelota grande queda en reposo sobre el suelo.

    Poniendo en la segunda ecuación (definición de coeficiente de restitución) que describe el choque frontal v1=0, para que v2>v0 se tiene que cumplir que e2+e-1>0, es decir, e>0.618.

    Para que la pelota grande permanezca en reposo en el suelo, v1=0, la relación de masas m1/m2 para cualquier valor de e>0.618, deberá cumplir

    m 1 m 2 = 1+e+ e 2 e

    Para un valor típico e=0.9, m1=3.011·m2, la masa de la pelota grande m1 es un poco más de tres veces la masa de la pelota pequeña. La velocidad de la pelota pequeña v2=1.71v0, y por tanto, h2=2.92·h0

  3. Cuando la masa de la pelota pequeña es despreciable
  4. Cuando la masa de la pelota pequeña es despreciable m2<<m1, para las colisiones elásticas e=1 se obtiene v2≈3·v0, De modo que, la altura que alcanza la pelota pequeña es h2≈9·h0.

Balance energético

Si la pelota mayor queda en reposo sobre el suelo, v1=0, la energía final Ef se convierte en energía potencial de pelota más pequeña cuando alcanza la altura máxima h2.

Ejemplo

Supongamos que e=0.9 y m1=3.011·m2, la altura inicial es h0=0.25 m

  1. Energía inicial Ei=4.011·9.8·0.25=9.83 J
  2. La velocidad de la pelota más grande al llegar al suelo es v0=2.21 m/s.
  3. Después de chocar con el suelo su velocidad es e·v0=1.99 m/s. La pérdida de energía durante el choque es Q1=-1.40 J
  4. La pelota más pequeña llega al suelo con velocidad v0=2.21 m/s y choca con la pelota grande después de rebotar. La pérdida de energía en el choque es Q2=-1.26 J
  5. La pelota grande permanece en reposo sobre le suelo. La energía de la pelota pequeña es Ef=9.83-1.40-1.26=7.16 J. La energía cinética de la pelota pequeña al nivel del suelo se convierte en energía potencial cuando alcanza la altura h2=0.73 m.

Actividades

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Por ejemplo

Observar que la pelota pequeña (de color azul) alcanza una altura máxima h2 cercana a los 90 cm

Introduzca un valor para el coeficiente de restitución e, cambie el valor de la masa m1 de la pelota grande hasta conseguir que después de chocar con la pelota pequeña, permanezca en reposo sobre el suelo.


Choques verticales elásticos

En esta sección, vamos a estudiar los choques elásticos verticales entre dos y tres pequeñas pelotas y generalizaremos el resultado para el caso de n pelotas.

Dos pelotas

  1. Las dos pelotas de masas m1 (la inferior) y m2 (superior) caen juntas desde una altura h0, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v0.

  2. La pelota inferior de masa m1 rebota elásticamente en el suelo invirtiendo el sentido de su velocidad.

  3. La pelota inferior de masa m1 y velocidad v0 choca con la pelota superior de masa m2 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v1 y v2.

m1·v0+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2

v1-v2=-e(v0-(-v0))

Si el choque es elástico, e=1

v1-v2=-2v0

Despejamos v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones

v 1 = m 1 3 m 2 m 1 + m 2 v 0 v 2 = 3 m 1 m 2 m 1 + m 2 v 0   

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=9·h0

Tres pelotas

  1. Las tres pelotas de masas m1 (la inferior) y m2 (intermedia) y m3 (superior) caen juntas desde una altura h0, cuando llegan al suelo alcanzan la velocidad -v0.

  2. La pelota inferior de masa m1 rebota elásticamente en el suelo, invirtiendo el sentido de su velocidad.

  3. La pelota inferior de masa m1 y velocidad v0 choca con la pelota intermedia de masa m2 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son v1 y v2.

  4. Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico

    m1·v0+m2(-v0)=m1·v1+m2·v2
    v1-v2=-
    2v0

    Despejamos como antes, las velocidades v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones

    v 1 = m 1 3 m 2 m 1 + m 2 v 0 v 2 = 3 m 1 m 2 m 1 + m 2 v 0   

  5. La pelota intermedia de masa m2 y velocidad v2 choca con la pelota superior de masa m3 y velocidad –v0. Las velocidades de las dos pelotas después del choque son V2 y v3.

  6. Aplicando el conservación del momento lineal, y suponiendo que el choque es elástico

    m2·v2+m3(-v0)=m2·V2+m3·v3
    V2-v3=-
    (v2-(-v0))

    Despejamos como antes, las velocidades v3 y V2 del sistema de dos ecuaciones

    V 2 = 3 m 1 m 2 m 2 2 5 m 1 m 3 m 2 m 3 ( m 1 + m 2 )( m 2 + m 3 ) v 0 v 3 = 7 m 1 m 2 m 2 2 m 1 m 3 m 2 m 3 ( m 1 + m 2 )( m 2 + m 3 ) v 0

    La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=49·h0

Cuatro pelotas

Si m1>>m2>>m3>>m4 entonces v4=15v0

La máxima altura que alcanza la pelota más ligera es h=225·h0

n pelotas

Si m1>>m2…. >>mn entonces vn=(2n-1)v0

Por ejemplo, si dejamos caer ocho pelotas desde un edificio muy alto de 100 m de altura, la velocidad al llegar al suelo es de

v 0 = 2·9.8·100 =44.3m/s

Si las masas de las pelotas cumplen la condición de que

m1>>m2>>… >>m8

la velocidad de rebote de la octava pelota es v8=(28-1)v0=11289.3 m/s

que es mayor que la velocidad de escape ve de un objeto de la superficie de la Tierra

v e = 2GM R =11191m/s

R=6370 km es el radio de la Tierra, M=5.98·1024 kg es la masa de la Tierra y G=6.67·10-11 N·m2/kg2.

Referencias

Spradley J. Velocity amplification in vertical collisions. Am. J. Phys. 55 (2) February 1987, pp. 183-184

Anderson A. The cocktail (highball) problem. Phys. Educ 34 (2) March 1999, pp. 76-79