El frontón

Supondremos que la resistencia del aire no afecta a la trayectoria de la pelota y que ésta se comporta como una partícula.

Situamos el eje Y en el frontón y el eje X en el suelo. La pelota se lanza desde la posición A a x0 de distancia al frontón y a una altura y0 sobre el suelo, con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ<90, tal como se aprecia en la figura.

Trayectoria de ida

La ecuación del movimiento de la pelota hasta su impacto en P es

{ a x =0 a y =g { v x = v 0 cosθ v y = v 0 sinθgt { x= x 0 v 0 cosθ·t y= y 0 + v 0 sinθ·t 1 2 g t 2

El choque con el frontón se produce cuando x=0, en el instante t1

t 1 = x 0 v 0 cosθ

Choque con el frontón

La altura yP de P y las componentes (ux, uy) de la velocidad de la pelota en P antes del choque son:

{ u x = v 0 cosθ u y = v 0 sinθg x 0 v 0 cosθ { x P =0 y P = y 0 + x 0 tanθ 1 2 g x 0 2 v 0 2 cos 2 θ

La componente vertical de la velocidad no cambia, vy=uy, y la componente horizontal de la velocidad se reduce en módulo y cambia de signo. vx=-e·ux

Trayectoria de vuelta

Esta es la velocidad inicial de la pelota después de rebotar en P. La ecuación del movimiento de la pelota desde P hasta que llega al suelo en B es

{ a x =0 a y =g { v x =e u x v y = u y gt { x=e u x ·t y= y P + u y ·t 1 2 g t 2

La pelota llega al suelo en el instante t2, cuando y=0

t 2 = u y + u y 2 +2g y P g

La distancia xB del punto B al frontón es

x B =e u x u y + u y 2 +2g y P g = e v 0 cosθ g ( v 0 sinθg x 0 v 0 cosθ + 2g y 0 + v 0 2 sin 2 θ )

la medida de xB nos daría el coeficiente de restituación e

Ejemplos

Supongamos que los choques de la pelota con el frontón son elásticos de modo que e=1

Fijamos la posición de partida de la pelota en A, a una distancia x0=3 m del frontón y a una altura y0=1.5 m sobre el suelo. Fijamos también, el ángulo de tiro, θ=60°.

Para que la pelota llegue al frontón y rebote, la velocidad v0, tiene que ser mayor que un valor mínimo.

El valor mínimo de v0 se calcula poniendo x=0, e y=0, en la ecuación del movimiento de la pelota en la trayectoria de ida, de A a P

{ x= x 0 v 0 cosθ·t y= y 0 + v 0 sinθ·t 1 2 g t 2

Despejemos v0

v min = x 0 cosθ g 2( y 0 + x 0 tanθ )

El resultado es vmín=5.13 m/s. Por debajo de esa velocidad, la pelota lanzada desde A con ángulo θ=60° no llega a tocar el frontón

Supongamos que lanzamos la pelota con velocidad v0=10 m/s

x0=3; %posición de lanzamiento
y0=1.5;
e=1; %coeficiente de restitución
theta=pi/3; %ángulo de tiro
v0=10; %velocidad inicial
v0_x=-v0*cos(theta);
v0_y=v0*sin(theta);
%v_min=x0*sqrt(4.9/(y0+x0*tan(theta)))/cos(theta)

hold on
%trayectoria de ida
t1=-x0/v0_x;
x=@(t) x0+v0_x*t;
y=@(t) y0+v0_y*t-4.9*t.^2;
fplot(x,y,[0,t1])
if y(t1)>0 
    %rebote en el frontón
    x0=0;
    v0_x=-e*v0_x;
    y0=y(t1);
    v0_y=v0_y-9.8*t1;
    %trayectoria de vuelta
    t2=(v0_y+sqrt(v0_y^2+2*9.8*y0))/9.8;
    x=@(t) x0+v0_x*t;
    y=@(t) y0+v0_y*t-4.9*t.^2;
    fplot(x,y,[0,t2])
end
hold off
xlim([0,10])
ylim([0,7])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('juego de la pelota en el frontón')
grid on

>> t1
t1 =    0.6000
>> y0
y0 =    4.9322
>> t2
t2 =    1.3263
>> x(t2)
ans =    6.6316

La pelota tarda un tiempo t1=0.6 s en alcanzar el frontón a una altura yP=4.93 m.

La pelota impacta en el suelo en el punto B después de un tiempo t2=1.33 s, a una distancia xB=6.63 m del frontón.

Calculamos ahora, el ángulo θ para el cual las trayectorias de ida y vuelta se superponen. Para que esto ocurra la componente vertical de la velocidad uy en el punto de impacto deberá ser cero

u y = v 0 sinθg x 0 v 0 cosθ sin( 2θ )=2g x 0 v 0 2

Con los datos de este ejemplo, θ=18.2° y choca con el suelo a una distancia xB=6.09 m del frontón

>> t1
t1 =    0.3158
>> y0
y0 =    1.9977
>> t2
t2 =    0.6414
>> x(t2)
ans =    6.0933

Finalmente, investigamos la variación del alcance xB con el ángulo de tiro, θ, manteniendo fijos la posición inicial (x0, y0) de la pelota y la velocidad de lanzamiento v0. Veremos que xB crece con el ángulo y luego, decrece, alcanzando un valor máximo para cierto ángulo de tiro.

e=1; %coeficiente de restitución
v0=10; %velocidad inicial
x0=3; %posición de lanzamiento
y0=1.5;
theta=5:80;
alcance=zeros(1,length(theta));
i=1;
for ang=theta*pi/180 %ángulo de tiro
    alcance(i)=e*v0*cos(ang)*(v0*sin(ang)-9.8*x0/(v0*cos(ang))+
sqrt(19.6*y0+(v0*sin(ang))^2))/9.8;
    i=i+1;
end
plot(theta,alcance)
xlabel('\theta')
ylabel('x_B')
title('juego de la pelota en el frontón')
grid on

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón se arrastra el círculo de color rojo, para establecer la posición inicial de la pelota: la distancia x0 al frontón y su altura sobre el suelo y0. El rectángulo de color rojo marca los límites de la altura y de la distancia. Por defecto, x0=3 m e y0=1.5 m

Se pulsa el botón titulado empieza

Se observa la trayectoria de la pelota, en la parte superior se proporcionan los datos de su posición x (distancia frontón) e y (altura sobre el suelo). Cuando llega al suelo medimos el alcance xB