Choque elástico de una partícula y una cuña

Conservación del momento lineal

La partícula rebota en el plano inclinado haciendo la dirección de su velocidad v un ángulo θ+α con la horizontal tal como se indica en la figura. Después del choque, la cuña se mueve sobre el plano horizontal con velocidad constante V.
Para determinar v, V y α precisamos de tres ecuaciones

  1. Conservación del momento lineal a lo largo de la dirección horizontal
  2. mu=MV+mvcos(α+θ)

  3. En un choque elástico la energía cinética de las partículas antes del choque es igual a la energía cinética de las partículas después del choque
  4. 1 2 m u 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 M V 2

  5. Durante la colisión, la fuerza N que ejerce la cuña sobre la partícula es normal al plano inclinado, y por tanto, la componente de la velocidad de la partícula paralela al plano inclinado permanece constante.
  6. ucosθ=vcosα

Escribimos las tres ecuaciones en la forma equivalente

u=vcos(α+θ)+qVq= M m u 2 = v 2 +q V 2 ucosθ=vcosα

Despejamos V y v de la primera y tercera ecuación y la sustituimos en la segunda

u 2 = u 2 cos 2 θ cos 2 α + u 2 q ( 1 cosθcos(α+θ) cosα ) 2 cos 2 α= cos 2 θ+ 1 q ( cosαcosθcos(α+θ) ) 2 ( 1 q ( cos 4 θ+ cos 2 θ2cosθ )1 ) cos 2 α+ 1 q sinθ(1cosθ)sin(2α)+ cos 2 θ+ 1 q sin 2 θ=0 acos(2α)+bsin(2α)+c=0 a= 1 2 ( 1 q ( 1+2 cos 4 θ3 cos 2 θ )1 ) b= 1 q sin 3 θcosθ c= 1 2q sin 2 θ 1 2 + cos 2 θ

Para obtener estas expresiones se han empleado las relaciones trigonométricas

cos(α+θ)=cosαcosθsinαsinθ cos 2 α= 1+cos(2α) 2 sin 2 θ+ cos 2 θ=1

Escribimos la ecuación

acos(2α)+c=-bsin(2α)

Elevamos al cuadrado y obtenemos una ecuación de segundo grado en cos(2α). Una de las raíces (+) es la solución, la otra (-) nos proporciona los datos de partida.

( a 2 + b 2 ) cos 2 (2α)+2accos(2α) b 2 + c 2 =0 cos(2α)= 2ac+ 4 a 2 c 2 4( c 2 b 2 )( a 2 + b 2 ) 2( a 2 + b 2 ) cos(2α)= ac+b a 2 + b 2 c 2 a 2 + b 2

Una vez calculado el ángulo de desviación α de la partícula respecto del plano inclinado, se calcula la velocidad v de la partícula y la velocidad V de la cuña después del choque

v=u cosθ cosα V= u q ( 1 cosθ cosα cos(α+θ) )

Después del choque

Caso particular

Cuando la velocidad de la cuña V es igual a la componente horizontal de la velocidad de la partícula v·cos(α+θ). La partícula regresa al punto de impacto, tal como se aprecia en la figura.

Para que esto suceda el ángulo θ del plano inclinado ha de estar relacionado con las masas de la partícula y la cuña q=M/m

Si V= v·cos(α+θ).

De la conservación del momento lineal
u=(1+q) v·cos(α+θ).

De la constancia de la energía cinética
u2=v2+qv2cos2(α+θ).

Elevamos al cuadrado  la primera ecuación y la combinamos con la segunda, obteniendo

1+q+ q 2 = 1 cos 2 (α+θ) q+ q 2 = tan 2 (α+θ)= ( tanα+tanθ 1tanαtanθ ) 2

Combinamos la conservación del momento lineal
u=(1+q) v·cos(α+θ).

Con la constancia de la componente de la velocidad de la partícula a lo largo del plano inclinado (la fuerza que ejerce la cuña sobre la partícula es perpendicular al plano inclinado)
ucosθ=vcosα

1 cosθ =(1+q) cos(α+θ) cosα tanα= (1+q)cosθ 1 cosθ (1+q)sinθ = qcotθtanθ (1+q)

sustituyendo la expresión de tanα.  Llegamos a la relación

q 2 +q= ( 1 q+1 ( q tanθ tanθ )+tanθ 1 1 q+1 ( q tanθ tanθ )tanθ ) 2 tanθ= q q+1

Ejemplo

q= 1 2 tanθ= 3 θ=30º

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la cuña y de la partícula después del choque.

En la parte superior, se muestra los datos de:


Referencias

Physics challenge for teachers and students. Solutions to November 2006 challenge. The Physics Teacher, Vol 45, 2007