La velocidad de la partícula es horizontal

La partícula rebota en el plano inclinado haciendo la dirección de su velocidad v un ángulo θ+α con la horizontal tal como se indica en la figura. Después del choque, la cuña se mueve sobre el plano horizontal con velocidad constante V.
Para determinar v, V y α precisamos de tres ecuaciones

1. Conservación del momento lineal a lo largo de la dirección horizontal

mu=MV+mvcos(α+θ)

2. En un choque elástico la energía cinética de las partículas antes del choque es igual a la energía cinética de las partículas después del choque

${\displaystyle \frac{1}{2}m{u}^2=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}M{V}^2}$

3. Durante la colisión, la fuerza N que ejerce la cuña sobre la partícula es normal al plano inclinado, y por tanto, la componente de la velocidad de la partícula paralela al plano inclinado permanece constante.



ucosθ=vcosα

Escribimos las tres ecuaciones en la forma equivalente

${\displaystyle \begin{array}{l}u=v\cos (\alpha +\theta )+qVq=\frac{M}{m}\\ u^2=v^2+q{V}^2\\ u\cos \theta =v\cos \alpha \end{array}}$

Despejamos V y v de la primera y tercera ecuación y la sustituimos en la segunda

$$\begin{gathered} {\displaystyle \begin{array}{l}{u}^2=u^2\frac{{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\alpha }+\frac{u^2}{q}{\left(1-\frac{\cos \theta \cos (\alpha +\theta )}{\cos \alpha }\right)}^2\\ {\cos }^2\alpha ={\cos }^2\theta +\frac{1}{q}{\left(\cos \alpha -\cos \theta \cos (\alpha +\theta )\right)}^2\\ \left(\frac{1}{q}\left({\cos }^4\theta +{\cos }^2\theta -2\cos \theta \right)-1\right){\cos }^2\alpha +\frac{1}{q}\sin \theta (1-\cos \theta )\sin (2\alpha )+ \\ {\cos }^2\theta +\frac{1}{q}{\sin }^2\theta =0\\ a\cos (2\alpha )+b\sin (2\alpha )+c=0\\ a=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{q}\left(1+2{\cos }^4\theta -3{\cos }^2\theta \right)-1\right)\\ b=\frac{1}{q}{\sin }^3\theta \cos \theta \\ c=\frac{1}{2q}{\sin }^2\theta -\frac{1}{2}+{\cos }^2\theta \end{array}} \end{gathered}$$

Para obtener estas expresiones se han empleado las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos (\alpha +\theta )=\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta \\ {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos (2\alpha )}{2}\\ {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1\end{array}}$

Escribimos la ecuación

acos(2α)+c=-bsin(2α)

Elevamos al cuadrado y obtenemos una ecuación de segundo grado en cos(2α). Una de las raíces (+) es la solución, la otra (-) nos proporciona los datos de partida.

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(a^2+b^2\right){\cos }^2(2\alpha )+2ac\cos (2\alpha )-b^2+c^2=0\\ \cos (2\alpha )=\frac{-2ac+\sqrt{4a^2{c}^2-4(c^2-b^2)(a^2+b^2)}}{2\left(a^2+b^2\right)}\\ \cos (2\alpha )=\frac{-ac+b\sqrt{a^2+b^2-c^2}}{a^2+b^2}\end{array}}$

Una vez calculado el ángulo de desviación α de la partícula respecto del plano inclinado, se calcula la velocidad v de la partícula y la velocidad V de la cuña después del choque

${\displaystyle v=u\frac{\cos \theta }{\cos \alpha }V=\frac{u}{q}\left(1-\frac{\cos \theta }{\cos \alpha }\cos (\alpha +\theta )\right)}$

Después del choque

• La cuña se mueve a lo largo del plano horizontal con velocidad constante V.
• La partícula describe un movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad. Situamos el origen en el punto de impacto sobre la cuña. Las ecuaciones del movimiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}x=v\cos (\alpha +\theta )t\\ y=v\sin (\alpha +\theta )t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Caso particular

Cuando la velocidad de la cuña V es igual a la componente horizontal de la velocidad de la partícula v·cos(α+θ). La partícula regresa al punto de impacto, tal como se aprecia en la figura.

Para que esto suceda el ángulo θ del plano inclinado ha de estar relacionado con las masas de la partícula y la cuña q=M/m

Si V= v·cos(α+θ).

De la conservación del momento lineal
u=(1+q) v·cos(α+θ).

De la constancia de la energía cinética
u²=v²+qv²cos²(α+θ).

Elevamos al cuadrado  la primera ecuación y la combinamos con la segunda, obteniendo

${\displaystyle \begin{array}{l}1+q+q^2=\frac{1}{{\cos }^2(\alpha +\theta )}\\ q+q^2={\tan }^2(\alpha +\theta )={\left(\frac{\tan \alpha +\tan \theta }{1-\tan \alpha \tan \theta }\right)}^2\end{array}}$

Combinamos la conservación del momento lineal
u=(1+q) v·cos(α+θ).

Con la constancia de la componente de la velocidad de la partícula a lo largo del plano inclinado (la fuerza que ejerce la cuña sobre la partícula es perpendicular al plano inclinado)
ucosθ=vcosα

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{\cos \theta }=(1+q)\frac{\cos (\alpha +\theta )}{\cos \alpha }\\ \tan \alpha =\frac{(1+q)\cos \theta -\frac{1}{\cos \theta }}{(1+q)\sin \theta }=\frac{q\cot \theta -\tan \theta }{(1+q)}\end{array}}$

sustituyendo la expresión de tanα.  Llegamos a la relación

${\displaystyle \begin{array}{l}{q}^2+q={\left(\frac{\frac{1}{q+1}\left(\frac{q}{\tan \theta }-\tan \theta \right)+\tan \theta }{1-\frac{1}{q+1}\left(\frac{q}{\tan \theta }-\tan \theta \right)\tan \theta }\right)}^2\\ \tan \theta =\sqrt{\frac{q}{q+1}}\end{array}}$

Ejemplo

${\displaystyle q=\frac{1}{2}\tan \theta =\sqrt{3}\theta =30º}$

Actividades

Se introduce

• El cociente entre las masas de la cuña y de la partícula q=M/m, en el control titulado Masa cuña/partícula
• El ángulo del plano inclinado θ, en el control titulado Ángulo
• Se ha fijado la velocidad vertical constante de la partícula inmediatamente antes del choque en v=2.0 m/s

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la cuña y de la partícula después del choque.

En la parte superior, se muestra los datos de:

• La velocidad V de la cuña después del choque
• El momento lineal total en la dirección horizontal

La velocidad de la partícula es vertical

Supongamos una partícula de masa m que se desplaza verticalmente con velocidad v choca con una cuña móvil de masa M y ángulo θ que se mueve sin rozamiento con velocidad constante u₀ en el plano horizontal. Vamos a calcular la velocidad de la partícula y de la cuña después del choque.

En el Sistema de Referencia que se mueve con velocidad u₀

Antes del choque

• La cuña se encuentra en reposo
• Las componentes de la velocidad de la partícula son u_x=u₀ y v_y=v. La velocidad v₁ de la partícula forma un ángulo α con la vertical o un ángulo β₁=π/2-α-θ con el plano inclinado.

${\displaystyle v_1=\sqrt{u_x^2+v_y^2},\tan \alpha =\frac{u_x}{v_y}}$

Después del choque

• La cuña de se mueve con velocidad V
• La partícula se mueve con velocidad v₂ formando un ángulo β₂ con el plano inclinado o un ángulo β₂-θ con la dirección horizontal.

Calculamos la velocidad V de la cuña y la velocidad v₂ de la partícula y su dirección β₂ después del choque a partir de ecuaciones similares a las del ejercicio anterior.

1. Conservación del momento lineal a lo largo de la dirección horizontal

m·u_x-mv₂cos(β₂-θ) =MV

2. En un choque elástico la energía cinética de las partículas antes del choque es igual a la energía cinética de las partículas después del choque

${\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_1^2=\frac{1}{2}m{v}_2^2+\frac{1}{2}M{V}^2}$

3. Durante la colisión, la fuerza N que ejerce la cuña sobre la partícula es normal al plano inclinado y por tanto, la componente de la velocidad de la partícula paralela al plano inclinado permanece constante.

v₁cosβ₁=v₂cosβ₂

Llamando q=M/m, al cociente entre masas, despejamos V

${\displaystyle \begin{array}{l}qV=v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)-u_x\\ qV=v_2\left(\cos {\beta }_2\cos \theta +\sin {\beta }_2\sin \theta \right)-u_x\\ qV=v_1\cos {\beta }_1\cos \theta +\sin \theta \sqrt{v_2^2-v_1^2{\cos }^2{\beta }_1}-u_x\\ qV=v_1\cos {\beta }_1\cos \theta +\sin \theta \sqrt{v_1^2{\sin }^2{\beta }_1-q{V}^2}-u_x\end{array}}$

Elevando al cuadrado

${\displaystyle \begin{array}{l}\sin \theta \sqrt{v_1^2{\sin }^2{\beta }_1-q{V}^2}=\left(u_x-v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)+qV\\ {\sin }^2\theta \left(v_1^2{\sin }^2{\beta }_1-q{V}^2\right)=q^2{V}^2+{\left(u_x-v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)}^2+2q\left(u_x+v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)V\\ q\left(q+{\sin }^2\theta \right)V^2+2q\left(u_x-v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)V+{\left(u_x-v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)}^2-v_1^2{\sin }^2{\beta }_1{\sin }^2\theta =0\end{array}}$

Tomamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle V=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\{\begin{array}{l}a=q\left(q+{\sin }^2\theta \right)\\ b=2q\left(u_x-v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)\\ c={\left(u_x-v_1\cos {\beta }_1\cos \theta \right)}^2-v_1^2{\sin }^2{\beta }_1{\sin }^2\theta \end{array}}$

En el Sistema de Referencia del Laboratorio, las componentes de la velocidad de la partícula y la velocidad de la cuña después del choque se indican en la figura

Trayectoria parabólica

La partícula después del choque describe una trayectoria parabólica desde el punto x₀, y₀ situado sobre la cuña, con las componentes de la velocidad inicial que se indican en la figura.

La partícula parte de la posición (x₀, h) en el instante t=0. Tarda un tiempo t₀, en alcanzar la cuña, cuyo vértice se ha desplazado u₀t₀ en ese tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}h-v_y{t}_0=(x_0-u_0{t}_0)\tan \theta \\ t_0=\frac{h-x_0\tan \theta }{v_y-u_0\tan \theta }\end{array}}$

La ordenada y₀=(x₀-u₀t₀)tanθ

Las ecuaciones de la trayectoria parabólica, se escriben

${\displaystyle \overrightarrow{a}\{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_x=-9.8\end{array}\overrightarrow{v}\{\begin{array}{l}{v}_x=-v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+u_0\\ v_y=v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)-9.8t\end{array}\overrightarrow{r}\{\begin{array}{l}x=x_0+\left(-v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+u_0\right)t\\ y=y_0+v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)t-\frac{1}{2}9.8t^2\end{array}}$

Mientras la partícula describe la trayectoria parabólica, la cuña se desplaza hacia la derecha. El punto de encuentro se calcula del siguiente modo

Ponemos el tiempo a cero cuando la partícula está en el punto (x₀, y₀). La posición del vértice de la cuña en el instante t₁ de encuentro entre la cuña y la partícula es x_c=u₀t₀+(u₀+V)t₁, la posición de la partícula en dicho instante es (x₁, y₁).

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(x_1-x_c\right)\tan \theta =y_1\\ \left(x_0+\left(-v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+u_0\right)t_1-x_c\right)\tan \theta =y_0+v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)t_1-\frac{1}{2}9.8t_1^2\\ \left(x_0+\left(-v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+u_0\right)t_1-\left(u_0{t}_0+\left(u_0+V\right)t_1\right)\right)\tan \theta =\\ y_0+v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)t_1-\frac{1}{2}9.8t_1^2\end{array}}$

El tiempo t₁ es la raíz positiva de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\{\begin{array}{l}a=4.9\\ b=-\left(v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+V\right)\tan \theta -v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)\\ c=\left(x_0-u_0{t}_0\right)\tan \theta -y_0\end{array}}$

Ejemplo

Sea una cuña de 30° de vértice, cuya masa es q=6 veces la masa de la partícula, que cae con velocidad constante v=2 m/s desde una altura h=1 m y a una distancia de x₀=1 m del vértice. Supondremos que la cuña parte del reposo, u₀=0.

Primer choque de la partícula y la cuña.

Creamos un script para calcular la velocidad v₂ de la partícula después del primer choque y el incremento V de la velocidad de la cuña.

v=2; %velocidad constante de caída de la partícula
u0=0; %la cuña parte del reposo
th=pi/6; %ángulo de la cuña (30º)
q=6; %ración masas M/m
x0=1; %posición inicial de la partícula
h=1; %altura inicial

%primer choque
ux=u0;
vy=v;
v1=sqrt(ux^2+vy^2);
alfa=atan(ux/vy);
beta_1=pi/2-alfa-th;
a=q*(q+sin(th)^2);
b=2*q*(ux-v1*cos(th)*cos(beta_1));
c=(ux-v1*cos(th)*cos(beta_1))^2-(v1*sin(beta_1)*sin(th))^2;
V=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); %incremento de velocidad de la cuña tras el choque
v2=sqrt(v1^2-q*V^2); %velocidad de la partícula tras el choque
beta_2=acos(v1*cos(beta_1)/v2); %ángulo de la velocidad
disp([v2,V])

    1.8813    0.2771

Completamos el script, dibujando la cuña (línea gruesa de color azul) en el instante t₀=0.2113 s del primer choque y en el instante t₀+t₁=0.2113+0.4082 s del segundo choque y la trayectoria (en color rojo) de la partícula desde el instante t=0 .

v=2; %velocidad constante de caída de la partícula
u0=0; %la cuña parte del reposo
th=pi/6; %ángulo de la cuña (30º)
q=6; %ración masas M/m
x0=1; %posición inicial de la partícula
h=1; %altura inicial

%primer choque
ux=u0;
vy=v;
v1=sqrt(ux^2+vy^2);
alfa=atan(ux/vy);
beta_1=pi/2-alfa-th;
a=q*(q+sin(th)^2);
b=2*q*(ux-v1*cos(th)*cos(beta_1));
c=(ux-v1*cos(th)*cos(beta_1))^2-(v1*sin(beta_1)*sin(th))^2;
V=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); %incremento de velocidad de la cuña tras el choque
v2=sqrt(v1^2-q*V^2); %velocidad de la partícula tras el choque
beta_2=acos(v1*cos(beta_1)/v2); %ángulo de la velocidad

%posición del primer choque
t0=(h-x0*tan(th))/(vy-u0*tan(th));
y0=h-v*t0;
%tiempo de vuelo
a=4.9;
b=-(v2*cos(beta_2-th)+V)*tan(th)-v2*sin(beta_2-th);
c=(x0-u0*t0)*tan(th)-y0;
t1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); %tiempo de vuelo
u1=u0+V; %velocidad de la cuña después del primer choque

hold on
%cuña inicial
line([u0*t0, 1+u0*t0],[0,1*tan(th)],'lineWidth',1.5)
%cuña en el momento del segundo choque
line([u0*t0+u1*t1,1+u0*t0+u1*t1],[0,1*tan(th)],'lineWidth',1.5)
%trayectoria de la partícula
line([x0,x0],[h,h-v*t0],'color','r')
xp=@(t) x0+(-v2*cos(beta_2-th)+u0)*t;
yp=@(t) y0+v2*sin(beta_2-th)*t-4.9*t.^2;
fplot(xp, yp,[0,t1], 'color','r')
plot(x0,y0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')
%punto de impacto
x0=xp(t1);
y0=yp(t1);
plot(x0,y0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')

grid on
hold off
axis equal

Comprobamos la conservación del momento lineal en la dirección horizontal

>> -v2*cos(beta_2-th)+ux+q*V
ans =   4.4409e-16

Segundo choque de la partícula y la cuña.

La velocidad de la partícula despúes del segundo choque es

${\displaystyle \overrightarrow{v}\{\begin{array}{l}{v}_x=-v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+u_0\\ v_y=v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)-9.8t_1\end{array}}$

Nos situamos en un Sistema de Referencia que se mueve con velocidad u₁=u₀+V de la cuña antes del choque. Repetimos el mismo esquema de cálculo que para el primer choque. Las componentes de la velocidad de la partícula en este Sistema de Referencia son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{u}_x=v_2\cos \left({\beta }_2-\theta \right)+V\\ v_y=-(v_2\sin \left({\beta }_2-\theta \right)-9.8t_1)\end{array}}$

Dibujamos la cuña (línea gruesa de color azul) en el instante t₀=0.2113 s del primer choque, en el instante t₀+t₁=0.2113+0.4082 s del segundo choque, en el instante t₀+t₁+t₂=0.2113+0.4082+0.4082 s, y la trayectoria (en color rojo) de la partícula desde el instante t=0 .

Como podemos apreciar en la figura, el tercer choque no se produce en la cuña sino en su prolongación. En realidad, impacta antes en el plano horizontal la recta y=0

...
 %segundo choque
ux=v2*cos(beta_2-th)+V;
vy=-(v2*sin(beta_2-th)-9.8*t1);
v1=sqrt(ux^2+vy^2);
alfa=atan(ux/vy);
beta_1=pi/2-alfa-th;
a=q*(q+sin(th)^2);
b=2*q*(ux-v1*cos(th)*cos(beta_1));
c=(ux-v1*cos(th)*cos(beta_1))^2-(v1*sin(beta_1)*sin(th))^2;
V=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); %incremento de velocidad de la cuña tras el choque
v2=sqrt(v1^2-q*V^2); %velocidad de la partícula tras el choque
beta_2=acos(v1*cos(beta_1)/v2); %ángulo de la velocidad

%tiempo de vuelo
a=4.9;
b=-(v2*cos(beta_2-th)+V)*tan(th)-v2*sin(beta_2-th);
c=(x0-u0*t0-u1*t1)*tan(th)-y0;
t2=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a); %tiempo de vuelo

%disp(-v2*cos(beta_2-th)+ux+q*V) %conservación del momento lineal
u2=u1+V; %velocidad de la cuña después del primer choque

hold on
%cuña inicial
%cuña en el momento del segundo choque
line([u0*t0+u1*t1+u2*t2,1+u0*t0+u1*t1+u2*t2],[0,1*tan(th)],'lineWidth',1.5)
line([u0*t0+u1*t1+u2*t2,-1.5+u0*t0+u1*t1+u2*t2],[0,-1.5*tan(th)],'lineWidth',1.5)
%trayectoria de la partícula
xp=@(t) x0+(-v2*cos(beta_2-th)+u1)*t;
yp=@(t) y0+v2*sin(beta_2-th)*t-4.9*t.^2;
fplot(xp, yp,[0,t2], 'color','r')
%punto de impacto
x0=xp(t2);
y0=yp(t2);
plot(x0,y0,'o','markersize',4,'markeredgecolor','r','markerfacecolor','r')

La velocidad v₂ de la partícula después del segundo choque y el incremento V de la velocidad de la cuña son.

    3.6107    0.2771

Tercer choque de la partícula y la cuña.

Añadimos al script un cuarto choque. Nos fijampos en los tiempos de vuelo y en las velocidades de la cuña después de los choques, tal como se muestra en la figura

>> t0,t1,t2,t3
t0 =    0.2113
t1 =    0.4082
t2 =    0.4082
t3 =    0.4082
>> u0,u1,u2,u3
u0 =     0
u1 =    0.2771
u2 =    0.5543
u3 =    0.8314

La partícula emplea el mismo tiempo 0.4082 s en describir una trayectoria parabólica

La velocidad de la cuña se incrementa en 0.2771 m/s inmediatamente después de cada uno de los choques ya que, u₃-u₂=u₂-u₁=u₁-u₀=0.2771 m/s

Actividades

Se introduce

• El cociente entre las masas de la cuña y de la partícula q=M/m, en el control titulado Masa cuña/partícula
• El ángulo del plano inclinado θ, en el control titulado Ángulo
• Se ha fijado la velocidad de la partícula inmediatamente antes del choque en u=1.0 m/s, su dirección es horizontal

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la cuña y de la partícula después del choque.

En la parte superior, se muestra los datos de:

• La velocidad V de la cuña después del choque
• La velocidad v de la partícula inmeditamente después del choque
• El ángulo α que forma la dirección de dicha velocidad con el plano inclinado

Referencias

Para el primer apartado

Physics challenge for teachers and students. Solutions to November 2006 challenge. The Physics Teacher, Vol 45, 2007