Un proyectil disparado por un carro de combate en movimiento

Vamos a estudiar distintos casos en orden de dificultad creciente, hasta llegar al más general, cuando el carro se mueve con velocidad V y se dispara el proyectil con un ángulo de tiro θ

El carro está firmemente sujeto al suelo, el disparo es horizontal

Supongamos que el carro está firmemente sujeto al suelo y se dispara un proyectil de masa m. La combustión de la pólvora en el ánima del cañón proporciona una energía cinética Q al proyectil. La velocidad u0 de salida del proyectil es

Q= 1 2 m u 0 2

El sistema formado por el carro y el proyectil no es aislado.

El carro está en reposo sobre el suelo, el disparo es horizontal

La masa del carro incluido el cañón vacío es M, y puede moverse sin rozamiento sobre una pista horizontal.

El sistema formado por el carro y el proyectil es aislado. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal

El carro se mueve en la misma dirección que el proyectil pero en sentido contrario

0=Mv+muv= m M u

La parte Q de la energía de combustión de la pólvora en el ánima del cañón se convierte en energía cinética del proyectil y del carro. El balance energético se escribe

Q= 1 2 m u 2 + 1 2 M v 2

Despejamos la velocidad u del proyectil y v de retroceso del carro

u= 2QM m(m+M) = u 0 1 ( m M +1 ) v= u 0 ( m M ) 1 ( m M +1 )

Cuando la masa M del carro es muy grande comparada con la masa m del proyectil, la velocidad de retroceso v→0 y la velocidad del proyectil uu0.

El carro se mueve con velocidad constante V antes del disparo, el disparo es horizontal

Si el carro se mueve con velocidad constante V en una pista horizontal, después del disparo

Se cumple el principio de conservación del momento lineal

(M+m)V=Mv'+mu'

(M+m)V=M(v+V)+m(u+V)

Se cumple la ecuación del balance energético

1 2 (m+M) V 2 +Q= 1 2 M (v+V) 2 + 1 2 m (u+V) 2

Calculamos las velocidades u' y v' después del disparo despejándolas del  sistema de dos ecuaciones como en el caso anterior.

(m+M)V=mu'+Mv' 1 2 (m+M) V 2 +Q= 1 2 Mv ' 2 + 1 2 mu ' 2

El resultado es el mismo que obtuvimos anteriormente

Q= 1 2 m( 1+ m M ) ( u'V ) 2 u'= u 0 ( 1+ m M ) +Vv'= m M u 0 ( 1+ m M ) +V

El carro está en reposo y el ángulo de tiro es θ

El carro está inicialmente en reposo y se fija el ángulo θ de tiro. Se dispara el proyectil

El momento lineal tiene dos componentes: una horizontal y otra vertical.

El sistema formado por el proyectil y el carro no es aislado en la dirección vertical, pero si lo es en la dirección horizontal.

En la dirección vertical el carro se encuentra fijo al suelo (primer caso estudiado), por tanto, la componente vertical de la velocidad del proyectil es  uy=u0·sinθ.

En la dirección horizontal el momento lineal se conserva.

Donde ux es la velocidad horizontal del proyectil

0=Mv+m u x v= m M u x

La ecuación del balance energético se escribe

Q= 1 2 m( u x 2 + u 0 2 sin 2 θ)+ 1 2 M v 2

Despejamos la componente horizontal de la velocidad del proyectil ux y la velocidad de retroceso del carro v.

u x = u 0 cosθ 1 ( m M +1 ) v= u 0 cosθ( m M ) 1 ( m M +1 )

El carro se mueve con velocidad V antes del disparo y el ángulo de tiro es θ

Si el carro se mueve con velocidad constante V antes del disparo

Las componentes de la velocidad del proyectil cuando sale del cañón serán

u ' x = u x +V= u 0 cosθ 1 ( m M +1 ) +V u ' y = u y = u 0 sinθ

La velocidad del carro después del disparo será

v'=v+V= u 0 cosθ( m M ) 1 ( m M +1 ) +V

Establecemos un sistema de referencia inmóvil en la boca del cañón en el momento en el que es disparado el proyectil. 

Escribimos las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad cuyas velocidades iniciales son

x=( u x +V)t y= u y ·t 1 2 g t 2

El alcance del proyectil se obtiene cuando y=0.

x m = 2( u x +V) u y g

El cañón siempre dispara hacia adelante, pero el carro puede moverse hacia adelante o hacia atrás. Cuando se mueve hacia atrás V<0, para un determinado ángulo de tiro θ la componente horizontal ux+V de la velocidad es nula, el alcance horizontal x es nulo, el proyectil sube y baja a lo largo del eje Y.

cosθ= | V | ( m M +1 ) u 0

Ejemplo 1:

La velocidad del carro después del disparo es

v'= u 0 cosθ( m M ) 1 (m/M+1) +V v'=100·cos45 1 5 1 1/5+1 +30=17.09m/s

Las componentes de la velocidad del proyectil son

u ' x = u 0 cosθ 1 (m/M+1) +Vu ' x =100·cos45 1 1/5+1 +30=94.55m/s u y = u 0 sinθ u y =100·sin45=70.7m/s

Comprobamos que se cumple el balance energético

1 2 (m+M) V 2 +Q= 1 2 m(u ' x 2 + u y 2 )+ 1 2 Mv ' 2 ( 1+ M m ) V 2 + u 0 2 =(u ' x 2 + u y 2 )+ M m v ' 2

El alcance es

x m = 2( u x +V) u y g x m = 2·94.55·70.7 9.8 =1364.4m

Ejemplo 2:

Para el ángulo de disparo θ tal que ux+V=0, o bien,

cosθ= | V | (m/M+1) u 0 cosθ= 30 1/5+1 100 θ=70.8º

El alcance horizontal xm=0

La velocidad de retroceso del carro vale

v'=100·cos70.8 1 5 1 1/5+1 30=36.0m/s

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Durante 4 segundos observamos el movimiento del carro de combate, hasta que la boca del cañón se sitúa en el origen del sistema de referencia. En ese instante se produce el disparo. Observamos el movimiento del proyectil y del carro. En la parte derecha, se proporcionan los datos: