Choque inelástico de duración finita (III)

Choque inelástico instantáneo

Si el choque es instantáneo, el bloque no se habrá desplazado de su posición vertical inicial, las fuerzas exteriores: el peso (m+M)g y la tensión de la cuerda T se anulan. El sistema es aislado y se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal en el momento del choque.

En el momento del choque

Sea M la masa del bloque inicialmente en reposo y m la masa de la bala, cuya velocidad inmediatamente antes del choque es v0. La velocidad final vf del conjunto bala-bloque inmediatamente después del choque es

mv0=(m+M)vf

A continuación, se efectúa el balance energético de la colisión. La variación de energía cinética es

ΔE= E f E i = 1 2 (m+M) v f 2 1 2 m v 0 2 = 1 2 mM m+M v 0 2

Movimiento después del choque

Una vez que el conjunto bala-bloque ha adquirido la velocidad vf, se desvía de la posición de equilibrio, haciendo un ángulo θ, al cabo de un cierto tiempo t tal como se indica en la figura. Supondremos que el bloque y la bala son masas puntuales.

Descomponemos las fuerzas que actúan sobre sistema a lo largo de la dirección radial y a lo largo de la dirección tangencial

Ejemplo:

En el programa interactivo del péndulo balístico se introducen los siguientes datos:

Velocidad del conjunto bloque-bala después del choque

0.2·10=(1.5+0.2)·vf          vf=1.18 m/s

El ángulo máximo que se desvía el péndulo después del choque es

sin( θ m 2 )= v f 2 gR θ m =2·arcsin( 1.18 2 9.8·0.5 )=30.8º

Choque inelástico de duración finita

Vamos a considerar el sistema formado por una bala de masa m y un bloque de masa M,  de forma rectangular de longitud L sujeto por sus extremos mediante dos varillas rígidas de masa despreciable tal como se muestra en la figura.

La bala se dispara horizontalmente con velocidad v0 contra una de las caras del bloque a lo largo de la línea que pasa por su centro de masas (c.m.), penetra en el bloque una cierta distancia hasta que ambos adquieren la misma velocidad. A medida que la bala va penetrando en el bloque, el c.m. del bloque describe un movimiento circular de radio R.

Las fuerzas que actúan sobre este sistema formado por la bala y el bloque son internas (en color azul)  y externas (en color rojo) que dibujamos sobre cada uno de los cuerpos.

  1. Sobre la bala (a la izquierda de la figura) actúan

  2. Sobre el bloque (en el centro y derecha de la figura) actúan las siguientes fuerzas

Una vez dibujadas las fuerzas, escribiremos las ecuaciones del movimiento de la bala y del c.m. del bloque, para ello estableceremos un sistema de ejes tal como se indica en la parte derecha de la figura.

Movimiento de la bala

La bala se mueve a lo largo del eje X, bajo la acción de la fuerza que supondremos constante F que se opone a su movimiento.

m d v x dt =F v x = v 0 F m tx= v 0 t 1 2 F m t 2

La componente Y de la velocidad de la bala es la misma que la componente Y de la velocidad del c.m. del bloque vy=Vy.

m d V y dt =Nmg    

Movimiento del bloque

Las ecuaciones del movimiento del c.m. del bloque a lo largo del eje X y del eje Y son respectivamente:

M d V x dt =FTsinθ M d V y dt =NMg+Tcosθ

Tenemos tres ecuaciones que vamos a combinar para eliminar las fuerzas desconocidas N y T. Sumamos la primera y la tercera para eliminar N.

M d V x dt =FTsinθ (M+m) d V y dt =(M+m)g+Tcosθ

Entres estas dos, eliminamos T.

M d V x dt cosθ+(M+m) d V y dt sinθ=Fcosθ(M+m)g·sinθ

que es la ecuación del movimiento del bloque.

Queremos llegar a una ecuación que nos permita calcular el desplazamiento angular θ del c.m. del bloque en función del tiempo t.

Como vemos en la figura, el vector velocidad V del c.m del bloque es tangente a su trayectoria circular de radio R. Las componentes de la velocidad Vx y Vy son

Vx=V·cos θ
Vy=V
·sin θ

y sus derivadas respecto del tiempo t

d V x dt = dV dt cosθVsinθ dθ dt d V y dt = dV dt sinθ+Vcosθ dθ dt

De la relación entre magnitudes lineales y angulares tenemos que V=R·dθ/dt

d V x dt =R d 2 θ d t 2 cosθRsinθ ( dθ dt ) 2 d V y dt =R d 2 θ dt sinθ+Rcosθ ( dθ dt ) 2

Volvemos a la ecuación del movimiento, y sustituimos las derivadas de las componentes de la velocidad del c.m. del bloque por sus expresiones en términos del ángulo θ y sus derivadas respecto del tiempo. Haciendo algunas operaciones se llega a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden.

( m· sin 2 θ+M )R d 2 θ d t 2 =Fcosθ mR·sin2θ 2 ( dθ dt ) 2 (m+M)g·sinθ

Dado el valor de la fuerza interna F, resolvemos esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, dθ/dt=0.

Final del choque

Se finaliza el choque, en el instante tc tal que la componente a lo largo del eje X de la velocidad del c.m. Vx=Vc·cosθc coincide con la componente X de la velocidad de la bala

v x = v 0 F m t c V c cos θ c = v 0 F m t c

Donde θc es el desplazamiento angular del c.m. del bloque en el instante tc y Vc la velocidad del c.m. del bloque en dicho instante.

Ya hemos mencionado que las componentes Y coinciden en todo momento Vy=vy.

Movimiento después del choque

Una vez que ha finalizado el choque, el bloque y la bala se mueven como un solo cuerpo de masa (m+M) bajo la acción de su peso y de la tensión de las cuerdas. El c.m. del sistema se mueve de acuerdo con la ecuación diferencial deducida en el primer apartado.

d 2 θ d t 2 + g R sinθ=0

con las condiciones iniciales t=0, θ= θc, dθ/dt=Vc/R.

Conocida la velocidad Vc y el desplazamiento angular θc, del sistema formado por el bloque y la bala en el instante tc en el que termina el choque, podemos determinar sin resolver la ecuación diferencial el máximo desplazamiento θm, aplicando el principio de conservación de la energía.

1 2 (m+M) V c 2 =(m+M)g(Rcos θ c Rcos θ m ) cos θ m =cos θ c V c 2 2gR

Conclusiones

Se ha descrito un choque inelástico entre una bala y un bloque. En el caso de que el choque sea instantáneo, se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal, ya que las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema se anulan. En el caso de que el choque sea de duración finita, las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas no se anulan durante el intervalo de tiempo que dura el choque, por lo que no se puede aplicar el principio de conservación del momento lineal.

Se deberá esperar que cuanto más corta sea la duración del choque, es decir, más grande sea la fuerza interna F de frenado que ejerce el bloque sobre la bala, los resultados de de las dos descripciones serán cada vez más parecidos. En el límite, cuando F tiene a infinito, tendremos un choque instantáneo, y obtendremos los resultados que predice el principio de conservación del momento lineal.

El programa interactivo, resuelve las ecuaciones del movimiento empleando procedimientos numéricos. Además de las imprecisiones propias de los procedimientos numéricos hay que añadir una dificultad más en la resolución de las ecuaciones del movimiento. Cuanto mayor sea la fuerza F, más corta es la duración del choque, el paso de integración se ha de hacer más pequeño para que los resultados sean fiables.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se mueve la bala, un pequeño círculo de color rojo, hacia una de las caras del bloque. Cuando la bala toca al bloque, se observa:

En la parte derecha, se proporcionan los siguientes datos:

Observaremos que la componente X de la velocidad de la bala, disminuye y aumenta la componente X de la velocidad del bloque. Emplearemos la combinación de botones || y >|, para acercarnos al momento en el que termina el choque cuando ambas velocidades (en color rojo) toman el mismo valor. Anotaremos

Comparamos la velocidad Vc con la velocidad vf que se obtiene de la aplicación del principio de conservación del momento lineal (choque instantáneo)

v f = m m+M v 0

Pulsamos el botón titulado , para que el sistema prosiga su movimiento hasta alcanzar el máximo desplazamiento.

Nos fijamos que la bala y el bloque se mueven con la misma velocidad (en color rojo)

El programa se detiene cuando el sistema formado por el bloque y la bala alcanza el máximo desplazamiento, la velocidad V se hace cero (en color azul). Se sugiere al lector comparar los máximos desplazamientos que se obtienen mediante el modelo de choque instantáneo y mediante el modelo de choque de duración finita.

Ejemplo:

Introducimos los siguientes valores:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Choque instantáneo

Aplicando el principio de conservación del momento lineal, obtenemos la velocidad del conjunto bloque-bala después del choque

0.4·10=(1+0.4)·vf       vf=2.86 m/s

Aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos el ángulo máximo que se desvía el péndulo balístico después del choque

sin( θ m 2 )= v f 2 gR θ m =2·arcsin( 2.86 2 9.8·1.0 )=54.3º

Choque de duración finita

Observamos los valores de las componentes X de las velocidades de la bala vx y del bloque Vx (en color rojo) Cuando estas componentes son iguales el choque finaliza, las flechas que señalan la fuerza interna F que disminuye la velocidad de la bala y aumenta la del bloque, desparecen.

Después del choque t>tc las velocidades de la bala y del bloque son las mismas.

Aplicando el principio de conservación de la energía, podemos calcular la máxima desviación θm del conjunto formado por el bloque y la bala después del choque.

cos θ m =cos11.92 2.75 2 2·9.8·1.0 θ m =53.66º

Ejemplo 2

Se obtienen los siguientes resultados


Referencias

Donnelly D, Diamond J. Slow collisions in the ballistic pendulum: A computational study. Am. J. Phys. 71 (6) June 2003, pp. 535-540.