Rebotes en un recinto circular

Cuando una pelota rebota sobre un tablero rígido, la componente de la velocidad perpendicular al tablero disminuye su valor, quedando la componente paralela inalterada

vx=ux
vy=-e·uy

o bien

vsinφ=usinθ
vcosφ=e·usinθ

Conocida la velocidad inicial u, el ángulo de incidencia θ y el coeficiente de restitución e, despejamos el ángulo φ y la velocidad de rebote v

tanφ= 1 e tanθv=u sinθ sinφ

Polígono de tres lados, dos rebotes

La partícula sale de A con velocidad v, formando un ángulo θ con la dirección radial, choca con el recinto circular en B, en el que se cumple que

tan θ 1 = 1 e tanθ v 1 =v sinθ sin θ 1

La partícula sale de B con velocidad v1 haciendo un ángulo θ1 con la dirección radial y choca con el recinto circular en C, se cumple que

tan θ 2 = 1 e tan θ 1 v 2 = v 1 sin θ 1 sin θ 2 tan θ 2 = 1 e 2 tanθ

Como e<1 entonces θ2>θ1>θ

Para que la partícula retorne a A y se cierre la trayectoria se tendrá que cumplir que la suma de los ángulos interiores del triángulo sea 180°

2θ+2θ1+2θ2

tan( θ 1 + θ 2 )=tan( π 2 θ ) tan θ 1 +tan θ 2 1tan θ 1 ·tan θ 2 = 1 tanθ e 1 tanθ+ e 2 tanθ 1 e 3 tan 2 θ = 1 tanθ ( 1 e + 1 e 2 + 1 e 3 ) tan 2 θ=1

Dado el coeficiente de restitución e, despejamos el ángulo θ que hace que la trayectoria sea cerrada en forma de triángulo

n=2; %número de choques, polígono de n+1 lados
e=0.6; %coeficiente de restitución
th_0=atan(1/sqrt(1/e+1/e^2+1/e^3));
 
hold on
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi], 'lineWidth',1.5)
ang=0;
for k=0:n
    th=atan(tan(th_0)/e^k);
    line([0,cos(ang)],[0,sin(ang)], 'lineStyle','--')
    line([cos(ang),cos(ang+pi-2*th)],[sin(ang),sin(ang+pi-2*th)],'color','r')
    ang=ang+pi-2*th;
end
hold off
grid on
axis equal
axis off

Polígono de cuatro lados, tres rebotes

La partícula sale de A con velocidad v, formando un ángulo θ con la dirección radial, choca con el recinto circular en B, en el que se cumple que

tan θ 1 = 1 e tanθ v 1 =v sinθ sin θ 1

La partícula sale de B con velocidad v1 haciendo un ángulo θ1 con la dirección radial y choca con el recinto circular en C, se cumple que

tan θ 2 = 1 e tan θ 1 v 2 = v 1 sin θ 1 sin θ 2 tan θ 2 = 1 e 2 tanθ

La partícula sale de C con velocidad v2 haciendo un ángulo θ2 con la dirección radial y choca con el recinto circular en D, se cumple que

tan θ 3 = 1 e tan θ 2 v 3 = v 2 sin θ 2 sin θ 3 tan θ 3 = 1 e 3 tanθ

Como e<1 entonces θ3>θ2>θ1>θ

Para que la partícula retorne a A y se cierre la trayectoria se tendrá que cumplir que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero sea 360°

2θ+2θ1+2θ2+2θ3=2π

tan( θ 2 + θ 3 )=tan( π(θ+ θ 1 ) ) tan( θ 2 + θ 3 )=tan( θ+ θ 1 ) tan θ 2 +tan θ 3 1tan θ 2 ·tan θ 3 = tanθ+tan θ 1 1tanθ·tan θ 1 e 2 tanθ+ e 3 tanθ 1 e 5 tan 2 θ = tanθ+ e 1 tanθ 1 e 1 tan 2 θ tan 2 θ= e 3

Dado el coeficiente de restitución e, despejamos el ángulo θ que hace que la trayectoria sea cerrada en forma de cuadrilátero

n=3; %número de choques, polígono de n+1 lados
e=0.6; %coeficiente de restitución
th_0=atan(e^(3/2));
 
hold on
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi], 'lineWidth',1.5)
ang=0;
for k=0:n
    th=atan(tan(th_0)/e^k);
    line([0,cos(ang)],[0,sin(ang)], 'lineStyle','--')
    line([cos(ang),cos(ang+pi-2*th)],[sin(ang),sin(ang+pi-2*th)],'color','r')
    ang=ang+pi-2*th;
end
hold off
grid on
axis equal
axis off

Polígono de n+1 lados, n rebotes

En general, para n colisiones de la partícula con el recinto circular

2θ+2θ1+2θ2+...+2θn=(n-1)π

2( θ+ k=1 n θ k )=(n1)π tan θ k = 1 e k tanθ

Dado el coeficiente de restitución e, resolvemos la ecuación trascendente utilizando el comando fzero de MATLAB

θ+ k=1 n arctan( 1 e k tanθ ) =(n1) π 2

n=5; %número de choques, polígono de n+1 lados
e=0.8; %coeficiente de restitución
 
k=1:n;
f=@(x) x+sum(atan(tan(x)./e.^k))-(n-1)*pi/2;
th_0=fzero(f,[0,pi/2]);
 
hold on
fplot(@(t) cos(t), @(t) sin(t),[0,2*pi], 'lineWidth',1.5)
ang=0;
for k=0:n
    th=atan(tan(th_0)/e^k);
    line([0,cos(ang)],[0,sin(ang)], 'lineStyle','--')
    line([cos(ang),cos(ang+pi-2*th)],[sin(ang),sin(ang+pi-2*th)],'color','r')
    ang=ang+pi-2*th;
end
hold off
axis equal
axis off