El bucle (II)

Movimiento de la partícula en contacto con el muelle

Comprimimos el muelle hasta una posición x0 y luego se suelta.

Si la máxima compresión del muelle es x0, la partícula se moverá si kx0> μmg, en caso contrario, permanecerá en equilibrio en dicha posición.

La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 =kx+μmg d 2 x d t 2 + ω 2 x=μg 

La solución de esta ecuación diferencial es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+ μg ω 2

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=x0 y dx/dt=0

x=( x 0 μg ω 2 )cos(ωt)+ μg ω 2 v= dx dt =ω( x 0 μg ω 2 )sin(ωt)

Pueden ocurrir dos casos:

1.-Que la partícula se detenga antes de alcanzar el origen

2.-Que la partícula alcance el origen x=0, con velocidad final v

La partícula se detiene en el instante t=π/ω, su posición es

x=2 μg ω 2 x 0

Para que sobrepase el origen se tiene que cumplir que x0>2μg/ω2

Llegamos a la misma conclusión desde el punto de vista energético. Solamente si la energía almacenada en el muelle es superior al trabajo de la fuerza de rozamiento, la partícula sobrepasa el origen

1 2 k x 0 2 >μmg x 0 x 0 > 2μg ω 2

La velocidad con la que llega al origen x=0 es

cos(ωt)= μg/ ω 2 x 0 μg/ ω 2 v=ω x 0 2 2 x 0 μg ω 2 = k m x 0 2 2μg x 0

El mismo resultado que se obtiene aplicando el balance energético: El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a diferencia entre la energía final y la energía inicial

μmg x 0 = 1 2 m v 2 1 2 k x 0 2

La partícula regresa al origen con velocidad v0 y comprime el muelle

La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 =kxμmg d 2 x d t 2 + ω 2 x=μg 

La solución de esta ecuación diferencial es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt) μg ω 2

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0 y dx/dt=v0

x= v 0 ω sin(ωt)+ μg ω 2 cos(ωt) μg ω 2 v= dx dt = v 0 cos(ωt) μg ω sin(ωt)

La partícula se detiene v=0 en el instante t

tan(ωt)= v 0 ω μg

Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas

sinα= tanα 1+ tan 2 α cosα= 1 1+ tan 2 α   

Llegamos a la siguiente expresión para la posición final de la partícula

x= μg+ μ 2 g 2 + ω 2 v 0 2 ω 2

El mismo resultado que se obtiene aplicando el balance energético: El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a diferencia entre la energía final y la energía inicial

μmgx= 1 2 k x 2 1 2 m v 0 2

Trayectoria circular y parabólica

  1. La partícula describe una trayectoria circular si la velocidad en la parte más baja del bucle es

  2. v 0 5Rg

  3. La partícula desliza hacia atrás cuando

  4. v 0 2Rg

  5. Cuando la velocidad v0 está comprendida entre estos dos valores, la partícula desliza por el bucle, describe un movimiento parabólico y choca con el bucle

Para analizar este movimiento complejo, situamos el origen en el centro del bucle y medimos los ángulos desde el eje X. El nivel cero de energía potencial lo situamos en el eje X.

En la posición angular θ1 la partícula deja de tener contacto con el bucle, la reacción N es nula

La ecuación de la dinámica del movimiento circular y el principio de conservación de la energía se escriben

mgsin θ 1 =m v 1 2 R 1 2 m v 0 2 mgR= 1 2 m v 1 2 +mgRsin θ 1

Combinando ambas ecuaciones determinamos el valor del ángulo θ1

v 0 2 =2gR+3gRsin θ 1

Una vez que llega P1 describe un movimiento parabólico. La velocidad y la posición de la partícula son

{ v x = v 1 sin θ 1 v y = v 1 cos θ 1 gt { x=Rcos θ 1 v 1 sin θ 1 t y=Rsin θ 1 + v 1 cos θ 1 t 1 2 g t 2

La máxima altura que alcanza la partícula, se obtiene con vy=0, se despeja t y se introduce en la ecuación de y

t= v 1 cos θ 1 g h=Rsin θ 1 ( 1+ 1 2 cos 2 θ 1 )

Vamos a calcular la velocidad v0 de la partícula en la base de la pista circular para que pase por el centro de la pista. En la ecuación de la trayectoria ponemos x=0, y=0, despejamos en la primera ecuación el tiempo t y los sustituímos en la segunda. Teniendo en cuenta, que de la dinámica del movimiento circular

v 1 2 =Rgsin θ 1

Despejamos el ángulo θ1

sin θ 1 = 1 3

La velocidad v0 de la partícula en la base de la pista circular es

v 0 2 =( 2+ 3 )gR

Posición del impacto

La partícula choca con el bucle en el punto P2 que es el punto de intersección entre la parábola y la circunferencia de radio R. Recordando que la ecuación de una circunferencia, cuando su centro está en el origen de coordenadas es

x 2 + y 2 = R 2 ( Rcos θ 1 v 1 sin θ 1 t ) 2 + ( Rsin θ 1 + v 1 cos θ 1 t 1 2 g t 2 ) 2 = R 2

Teniendo en cuenta que de la dinámica del movimiento circular

v 1 2 =Rgsin θ 1

Llegamos a la siguiente expresión simplificada

t 3 g( 1 4 gt v 1 cos θ 1 )=0

El tiempo de vuelo de la partícula hasta que choca con el bucle es

t= 4 v 1 cos θ 1 g

La posición del punto de impacto (x2, y2) de la partícula es

{ x 2 =Rcos θ 1 4 v 1 2 sin θ 1 cos θ 1 g =R( 3cos θ 1 +4 cos 3 θ 1 )=Rcos( 3 θ 1 ) y 2 =Rsin θ 1 4 v 1 2 cos 2 θ 1 g =R( 3sin θ 1 4 sin 3 θ 1 )=Rsin( 3 θ 1 )

Comprobamos que punto de impacto (x2, y2) está en la circunferencia de radio R, es decir que

x 2 2 + y 2 2 = R 2

R=0.5;
ang=(0:10:360)*pi/180;    %dibuja la circunferencia
x=R*cos(ang);
y=R*sin(ang);
hold on
plot(x,y,'black')
axis equal
%trayectorias parabólicas
v0=linspace(sqrt(2*9.8*R),sqrt(5*9.8*R),6);  %velocidad 
fi=asin((v0.^2-2*9.8*R)/(3*9.8*R));  %ángulo de tiro
v1=sqrt(R*9.9*sin(fi));    %velocidad de disparo
tf=4*v1.*cos(fi)/9.8;  %tiempo de vuelo 

for i=2:length(fi)-1       %trayectorias 
    t=linspace(0,tf(i),50);
    x=R*cos(fi(i))-v1(i)*sin(fi(i))*t;
    y=R*sin(fi(i))+v1(i)*cos(fi(i))*t-4.9*t.^2;
    plot(x,y,'red')
%punto de impacto
    plot(R*cos(3*fi(i)),-R*sin(3*fi(i)),'bo', 'markersize',4,
    'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
end
hold off
xlabel('x')
ylabel('y')
title('El bucle')
grid on

En la figura se muestran, las trayectorias parabólicas seguidas por la partícula, para distintos valores de la velocidad inicial v0 en la parte inferior del bucle.

La velocidad en el punto de impacto

Las componentes (v2x, v2y) de la velocidad en el punto de impacto son

{ v 2x = v 1 sin θ 1 v 2y =3 v 1 cos θ 1

El principio de conservación de la energía nos proporciona el módulo de la velocidad en el punto de impacto v2

1 2 m v 1 2 +mgRsin θ 1 = 1 2 m v 2 2 +mg y 2 v 2 2 =Rgsin θ 1 ( 1+8 cos 2 θ 1 )

v2=@(x) sin(x)*(1+8*cos(x)^2);
fplot(v2,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v_2^2')
title('El bucle')

Después del choque, supondremos que se anula la componente radial de la velocidad, y la partícula desliza sobre el bucle con una velocidad inicial igual a la componente tangencial de la velocidad.

Las componentes radial y tangencial de la velocidad se calculan mediante el producto escalar y el producto vectorial de los vectores r 2 y v 2

v 2r = r 2 · v 2 R v 2t =| r 2 × v 2 R |

El módulo del vector posición r 2 del punto P2 es el radio R de la circunferencia

{ v 2r = v 1 ( 3cos θ 1 sin(3 θ 1 )sin θ 1 cos(3 θ 1 ) ) v 2t = v 1 | 3cos θ 1 cos(3 θ 1 )+sin θ 1 sin(3 θ 1 ) |

vr=@(x) sqrt(sin(x))*(-sin(x)*cos(3*x)+3*cos(x)*sin(3*x));
vt=@(x) sqrt(sin(x))*abs(3*cos(x)*cos(3*x)+sin(x)*sin(3*x));
hold on
fplot(vr,[0,pi/2])
fplot(vt,[0,pi/2])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
legend('v_r','v_t')
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v_r,v_t')
title('El bucle')

La componente v2t se hace cero para un ángulo próximo a 30 grados, que calculamos con fzero para resolver la ecuación trascendente.

>> f=@(x) 3*cos(x)*cos(3*x)+sin(x)*sin(3*x);
>> fzero(f,[0,pi/2])*180/pi
ans =  34.2646

La energía final de la partícula en el punto de impacto P2 es

E 2 = 1 2 m v 2t 2 +mg y 2

La energía en el punto de impacto es menor que la energía de la partícula en el punto de lanzamiento

E= 1 2 m v 0 2 mgR= 1 2 m v 1 2 +mgRsin θ 1 = 3 2 mgRsin θ 1

Actividades

Se introduce un número n en el control titulado Velocidad, que determina la velocidad v0 en la parte inferior del bucle.

v 0 = nRg

Comprobamos que

  1. La partícula describe una trayectoria circular si n>5, es decir, si la velocidad en la parte más baja del bucle es

  2. v 0 5Rg

  3. La partícula desliza hacia atrás cuando n<2, es decir,

  4. v 0 2Rg

  5. Cuando n está comprendido entre 2 y 5, la partícula desliza por el bucle, describe un movimiento parabólico y choca con el bucle.

El programa calcula y muestra mediante flechas, las componentes tangencial y radial de la velocidad en el momento del impacto

Por ejemplo, para n=3.69, que corresponde a una velocidad v0=6.01 m/s, el ángulo θ1=34.24 grados. En el punto de impacto, observamos que la componente vt es casi nula, tal como se ha representado en la gráfica de vt en función del ángulo θ1

Como ejercicio, se sugiere determinar el valor de v0 para que la trayectoria parabólica pase por centro de la pista circular

Referencias

Del apartado Trayectoria circular y parabólica

Sameer Arabasi. Projectile motion of a once rotating object: physical quatities at the point of return. Eur. J. Phys. 37 (2016) 055006