Movimiento de la partícula en contacto con el muelle

Comprimimos el muelle hasta una posición x₀ y luego se suelta.

• Sobre la partícula actúa la fuerza que ejerce el muelle kx
• y la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento μmg

Si la máxima compresión del muelle es x₀, la partícula se moverá si kx₀> μmg, en caso contrario, permanecerá en equilibrio en dicha posición.

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx+\mu mg\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=\mu g}$

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle x=A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)+\frac{\mu g}{{\omega }^2}}$

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=x₀ y dx/dt=0

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\left(x_0-\frac{\mu g}{{\omega }^2}\right)\cos (\omega t)+\frac{\mu g}{{\omega }^2}\\ v=\frac{dx}{dt}=-\omega \left(x_0-\frac{\mu g}{{\omega }^2}\right)\sin (\omega t)\end{array}}$

Pueden ocurrir dos casos:

1.-Que la partícula se detenga antes de alcanzar el origen

2.-Que la partícula alcance el origen x=0, con velocidad final v

La partícula se detiene en el instante t=π/ω, su posición es

${\displaystyle x=2\frac{\mu g}{{\omega }^2}-x_0}$

Para que sobrepase el origen se tiene que cumplir que x₀>2μg/ω²

Llegamos a la misma conclusión desde el punto de vista energético. Solamente si la energía almacenada en el muelle es superior al trabajo de la fuerza de rozamiento, la partícula sobrepasa el origen

${\displaystyle \frac{1}{2}k{x}_0^2>\mu mg{x}_0{x}_0>\frac{2\mu g}{{\omega }^2}}$

La velocidad con la que llega al origen x=0 es

${\displaystyle \begin{array}{l}\cos (\omega t)=\frac{-\mu g/{\omega }^2}{x_0-\mu g/{\omega }^2}\\ v=-\omega \sqrt{x_0^2-2x_0\frac{\mu g}{{\omega }^2}}=-\sqrt{\frac{k}{m}{x}_0^2-2\mu g{x}_0}\end{array}}$

El mismo resultado que se obtiene aplicando el balance energético: El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a diferencia entre la energía final y la energía inicial

${\displaystyle -\mu mg{x}_0=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{1}{2}k{x}_0^2}$

La partícula regresa al origen con velocidad v₀ y comprime el muelle

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx-\mu mg\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+{\omega }^{2}x=-\mu g}$

La solución de esta ecuación diferencial es

${\displaystyle x=A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)-\frac{\mu g}{{\omega }^2}}$

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0 y dx/dt=v₀

${\displaystyle \begin{array}{l}x=\frac{v_0}{\omega }\sin (\omega t)+\frac{\mu g}{{\omega }^2}\cos (\omega t)-\frac{\mu g}{{\omega }^2}\\ v=\frac{dx}{dt}=v_0\text{cos}(\omega t)-\frac{\mu g}{\omega }\sin (\omega t)\end{array}}$

La partícula se detiene v=0 en el instante t

${\displaystyle \tan (\omega t)=\frac{v_0\omega }{\mu g}}$

Teniendo en cuenta las relaciones trigonométricas

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{\tan \alpha }{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}}$

Llegamos a la siguiente expresión para la posición final de la partícula

${\displaystyle x=\frac{-\mu g+\sqrt{{\mu }^2{g}^2+{\omega }^2{v}_0^2}}{{\omega }^2}}$

El mismo resultado que se obtiene aplicando el balance energético: El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a diferencia entre la energía final y la energía inicial

${\displaystyle -\mu mgx=\frac{1}{2}k{x}^2-\frac{1}{2}m{v}_0^2}$

Trayectoria circular y parabólica

1. La partícula describe una trayectoria circular si la velocidad en la parte más baja del bucle es

${\displaystyle v_0\ge \sqrt{5Rg}}$

2. La partícula desliza hacia atrás cuando

${\displaystyle v_0\le \sqrt{2Rg}}$

3. Cuando la velocidad v₀ está comprendida entre estos dos valores, la partícula desliza por el bucle, describe un movimiento parabólico y choca con el bucle

Para analizar este movimiento complejo, situamos el origen en el centro del bucle y medimos los ángulos desde el eje X. El nivel cero de energía potencial lo situamos en el eje X.

En la posición angular θ₁ la partícula deja de tener contacto con el bucle, la reacción N es nula

La ecuación de la dinámica del movimiento circular y el principio de conservación de la energía se escriben

${\displaystyle \begin{array}{l}mg\sin {\theta }_1=m\frac{v_1^2}{R}\\ \frac{1}{2}m{v}_0^2-mgR=\frac{1}{2}m{v}_1^2+mgR\sin {\theta }_1\end{array}}$

Combinando ambas ecuaciones determinamos el valor del ángulo θ₁

${\displaystyle v_0^2=2gR+3gR\sin {\theta }_1}$

Una vez que llega P₁ describe un movimiento parabólico. La velocidad y la posición de la partícula son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{v}_x=-v_1\sin {\theta }_1\\ v_y=v_1\cos {\theta }_1-gt\end{array}\{\begin{array}{l}x=R\cos {\theta }_1-v_1\sin {\theta }_{1}t\\ y=R\sin {\theta }_1+v_1\cos {\theta }_{1}t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

La máxima altura que alcanza la partícula, se obtiene con v_y=0, se despeja t y se introduce en la ecuación de y

${\displaystyle t=\frac{v_1\cos {\theta }_1}{g}h=R\sin {\theta }_1\left(1+\frac{1}{2}{\cos }^2{\theta }_1\right)}$

Vamos a calcular la velocidad v₀ de la partícula en la base de la pista circular para que pase por el centro de la pista. En la ecuación de la trayectoria ponemos x=0, y=0, despejamos en la primera ecuación el tiempo t y los sustituímos en la segunda. Teniendo en cuenta, que de la dinámica del movimiento circular

${\displaystyle v_1^2=Rg\sin {\theta }_1}$

Despejamos el ángulo θ₁

${\displaystyle \sin {\theta }_1=\sqrt{\frac{1}{3}}}$

La velocidad v₀ de la partícula en la base de la pista circular es

${\displaystyle v_0^2=\left(2+\sqrt{3}\right)gR}$

Posición del impacto

La partícula choca con el bucle en el punto P₂ que es el punto de intersección entre la parábola y la circunferencia de radio R. Recordando que la ecuación de una circunferencia, cuando su centro está en el origen de coordenadas es

${\displaystyle \begin{array}{l}{x}^2+y^2=R^2\\ {\left(R\cos {\theta }_1-v_1\sin {\theta }_{1}t\right)}^2+{\left(R\sin {\theta }_1+v_1\cos {\theta }_{1}t-\frac{1}{2}g{t}^2\right)}^2=R^2\end{array}}$

Teniendo en cuenta que de la dinámica del movimiento circular

${\displaystyle v_1^2=Rg\sin {\theta }_1}$

Llegamos a la siguiente expresión simplificada

${\displaystyle t^{3}g\left(\frac{1}{4}gt-v_1\cos {\theta }_1\right)=0}$

El tiempo de vuelo de la partícula hasta que choca con el bucle es

${\displaystyle t=\frac{4v_1\cos {\theta }_1}{g}}$

La posición del punto de impacto (x₂, y₂) de la partícula es

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_2=R\cos {\theta }_1-\frac{4v_1^2\sin {\theta }_1\cos {\theta }_1}{g}=R\left(-3\cos {\theta }_1+4{\cos }^3{\theta }_1\right)=R\cos \left(3{\theta }_1\right)\\ y_2=R\sin {\theta }_1-\frac{4v_1^2{\cos }^2{\theta }_1}{g}=-R\left(3\sin {\theta }_1-4{\sin }^3{\theta }_1\right)=-R\sin \left(3{\theta }_1\right)\end{array}}$

Comprobamos que punto de impacto (x₂, y₂) está en la circunferencia de radio R, es decir que

${\displaystyle x_2^2+y_2^2=R^2}$

R=0.5;
ang=(0:10:360)*pi/180;    %dibuja la circunferencia
x=R*cos(ang);
y=R*sin(ang);
hold on
plot(x,y,'black')
axis equal
%trayectorias parabólicas
v0=linspace(sqrt(2*9.8*R),sqrt(5*9.8*R),6);  %velocidad 
fi=asin((v0.^2-2*9.8*R)/(3*9.8*R));  %ángulo de tiro
v1=sqrt(R*9.9*sin(fi));    %velocidad de disparo
tf=4*v1.*cos(fi)/9.8;  %tiempo de vuelo 

for i=2:length(fi)-1       %trayectorias 
    t=linspace(0,tf(i),50);
    x=R*cos(fi(i))-v1(i)*sin(fi(i))*t;
    y=R*sin(fi(i))+v1(i)*cos(fi(i))*t-4.9*t.^2;
    plot(x,y,'red')
%punto de impacto
    plot(R*cos(3*fi(i)),-R*sin(3*fi(i)),'bo', 'markersize',4,
    'markeredgecolor','b','markerfacecolor','b')
end
hold off
xlabel('x')
ylabel('y')
title('El bucle')
grid on

En la figura se muestran, las trayectorias parabólicas seguidas por la partícula, para distintos valores de la velocidad inicial v₀ en la parte inferior del bucle.

La velocidad en el punto de impacto

Las componentes (v_2x, v_2y) de la velocidad en el punto de impacto son

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{v}_{2x}=-v_1\sin {\theta }_1\\ v_{2y}=-3v_1\cos {\theta }_1\end{array}}$

El principio de conservación de la energía nos proporciona el módulo de la velocidad en el punto de impacto v₂

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}_1^2+mgR\sin {\theta }_1=\frac{1}{2}m{v}_2^2+mg{y}_2\\ v_2^2=Rg\sin {\theta }_1\left(1+8{\cos }^2{\theta }_1\right)\end{array}}$

v2=@(x) sin(x)*(1+8*cos(x)^2);
fplot(v2,[0,pi/2])
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v_2^2')
title('El bucle')

Después del choque, supondremos que se anula la componente radial de la velocidad, y la partícula desliza sobre el bucle con una velocidad inicial igual a la componente tangencial de la velocidad.

Las componentes radial y tangencial de la velocidad se calculan mediante el producto escalar y el producto vectorial de los vectores $\overrightarrow{r_2}$ y $\overrightarrow{v_2}$

${\displaystyle v_{2r}=\frac{\overrightarrow{r_2}·\overrightarrow{v_2}}{R}{v}_{2t}=\left|\frac{\overrightarrow{r_2}\times \overrightarrow{v_2}}{R}\right|}$

El módulo del vector posición $\overrightarrow{r_2}$ del punto P₂ es el radio R de la circunferencia

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{v}_{2r}=v_1\left(3\cos {\theta }_1\sin (3{\theta }_1)-\sin {\theta }_1\cos (3{\theta }_1)\right)\\ v_{2t}=v_1\left|3\cos {\theta }_1\cos (3{\theta }_1)+\sin {\theta }_1\sin (3{\theta }_1)\right|\end{array}}$

vr=@(x) sqrt(sin(x))*(-sin(x)*cos(3*x)+3*cos(x)*sin(3*x));
vt=@(x) sqrt(sin(x))*abs(3*cos(x)*cos(3*x)+sin(x)*sin(3*x));
hold on
fplot(vr,[0,pi/2])
fplot(vt,[0,pi/2])
hold off
set(gca,'XTick',0:pi/12:pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'0','15','30','45','60','75','90'})
legend('v_r','v_t')
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v_r,v_t')
title('El bucle')

La componente v_2t se hace cero para un ángulo próximo a 30 grados, que calculamos con fzero para resolver la ecuación trascendente.

>> f=@(x) 3*cos(x)*cos(3*x)+sin(x)*sin(3*x);
>> fzero(f,[0,pi/2])*180/pi
ans =  34.2646

La energía final de la partícula en el punto de impacto P₂ es

${\displaystyle E_2=\frac{1}{2}m{v}_{2t}^2+mg{y}_2}$

La energía en el punto de impacto es menor que la energía de la partícula en el punto de lanzamiento

${\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}_0^2-mgR=\frac{1}{2}m{v}_1^2+mgR\sin {\theta }_1=\frac{3}{2}mgR\sin {\theta }_1}$

Actividades

Se introduce un número n en el control titulado Velocidad, que determina la velocidad v₀ en la parte inferior del bucle.

${\displaystyle v_0=\sqrt{nRg}}$

Comprobamos que

1. La partícula describe una trayectoria circular si n>5, es decir, si la velocidad en la parte más baja del bucle es

${\displaystyle v_0\ge \sqrt{5Rg}}$

2. La partícula desliza hacia atrás cuando n<2, es decir,

${\displaystyle v_0\le \sqrt{2Rg}}$

3. Cuando n está comprendido entre 2 y 5, la partícula desliza por el bucle, describe un movimiento parabólico y choca con el bucle.

El programa calcula y muestra mediante flechas, las componentes tangencial y radial de la velocidad en el momento del impacto

Por ejemplo, para n=3.69, que corresponde a una velocidad v₀=6.01 m/s, el ángulo θ₁=34.24 grados. En el punto de impacto, observamos que la componente v_t es casi nula, tal como se ha representado en la gráfica de v_t en función del ángulo θ₁

Como ejercicio, se sugiere determinar el valor de v₀ para que la trayectoria parabólica pase por centro de la pista circular

Referencias

Del apartado Trayectoria circular y parabólica

Sameer Arabasi. Projectile motion of a once rotating object: physical quatities at the point of return. Eur. J. Phys. 37 (2016) 055006