Un bloque desliza a lo largo de un plano inclinado y deforma un muelle (II)

Ecuaciones del movimiento

Para analizar el movimiento, situamos el eje X a lo largo  del plano inclinado, con el origen en la posición del extremos libre del muelle sin deformar, la parte positiva apuntando hacia abajo. Las etapas del movimiento son las siguientes:

1.-El bloque baja deslizando por el plano inclinado

El bloque parte de la posición x0<0 y desliza hacia abajo si la componente del peso mg·sinθ es mayor que la fuerza de rozamiento máxima, μs·mg·cosθ, en caso contrario, permanecerá en reposo en la posición inicial.

mgsinθ≥μs·mg·cosθ

El ángulo θ del plano inclinado para que el bloque deslice tiene valer tanθ≥μs

Supongamos que se cumple esta condición y el bloque desliza hacia abajo. Las fuerzas sobre el bloque son:

La aceleración constante es

a+=g(sinθ-μcosθ)

La posición x y velocidad v en función del tiempo es

x= x 0 + 1 2 a + t 2 v= a + t

Llega al origen en el instante t con velocidad v0.

t= 2 x 0 a + v 0 = 2 a + x 0

2.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

Las fuerzas sobre el bloque son:

Cuando el bloque se mueve hacia abajo (v>0), la ecuación del movimiento es

ma=-kx+mgsinθ-μkmgcosθ
ma=-kx
+ma+

Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + ω 2 x= a + dx dt >0

con ω2=k/m

Esta ecuación del movimiento nos recuerda la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional a+

La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C)  en la ecuación diferencial

ω2C= a+                  C=a+2

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+ a + ω 2 v>0

La velocidad del bloque es

v= dx dt =Aωcos(ωt)Bωsin(ωt)

Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales

Ponemos el contador de tiempo parcial a cero t=0, el bloque llega al origen x=0, con velocidad v0.

0=B+ a + ω 2 v 0 =Aω

La posición x y la velocidad v del bloque en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, es

x= v 0 ω sin(ωt)+ a + ω 2 ( 1-cos(ωt) ) v= v 0 cos(ωt)+ a + ω sin(ωt)

El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que

tan(ωt)= v 0 ω a + ωt=πarctan( v 0 ω a + )

Teniendo en cuenta las relaciones

sinθ= tanθ 1+ tan 2 θ cosθ= 1 1+ tan 2 θ  

y que en el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo. Llegamos después de algunas operaciones a la expresión para el máximo desplazamiento xm

x m = v 0 2 ω 2 + a + 2 + a + ω 2

3.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia arriba

El móvil parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

kxm-mgsinθ μsmgcosθ,
ω2xm≥a-

en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque.

Supongamos que se cumple la primera condición.

Cuando el bloque se desliza a lo largo del plano inclinado, hacia arriba (v<0), la fuerza de rozamiento cambia de sentido y la ecuación del movimiento es

ma=-kx +mgsinθ+μkmgcosθ
ma=-kx
+ma-

Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial

d 2 x d t 2 + ω 2 x= a dx dt <0

La solución completa de la ecuación diferencial es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+ a ω 2 v<0

Ponemos el contador de tiempo parcial t a cero, el bloque parte de la posición xm con velocidad nula, las constantes A y B de la ecuación de la posición valen

x m =B+ a ω 2 0=Aω

La posición x y la velocidad v de dicho cuerpo en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia arriba, son

x=( x m a ω 2 )cos(ωt)+ a ω 2 v=( x m ω a ω )sin(ωt)

Cuando el móvil pasa por el origen x=0,

0=( x m a ω 2 )cos(ωt)+ a ω 2 cos(ωt)= a ω 2 x m a

4.-El bloque desliza hacia arriba, x<0

Las fuerzas sobre el bloque son:

La aceleración constante es

a-=g(sinθ+μcosθ)

El movimiento es rectilíneo, uniformemente acelerado. De nuevo ponemos el contador de tiempo parcial a cero.

v=vf+a-t
x=vf·t+a-t2/2

Como vf<0, y a->0 el bloque se para cuando v=0, en la posición

x 0 = v f 2 2 a

se completa un ciclo, se vuelve a repetir el movimiento tomando esta posición inicial de partida.

4.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

Volverá a deslizar a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, si

mgsinθ-kx1μk·mgcosθ,
ω2x1
a+.

La solución de la ecuación del movimiento para v>0 es

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)+ a + ω 2 v>0 v= dx dt =Aωcos(ωt)Bωsin(ωt)

Ponemos el contador de tiempo parcial a cero. Las condiciones iniciales son t=0, x=x1y v=0,

x 1 =B+ a + ω 2 0=Aω

x=( x 1 a + ω 2 )cos(ωt)+ a + ω 2 v=( x 1 ω a + ω )sin(ωt)

La máxima deformación del muelle, se alcanzará cuando v=0, es decir, en el instante t tal que  sin(ωt)=0, ωt=π. El móvil se detiene en la posición

x 2 =( x 1 a + ω 2 )cosπ+ a + ω 2 = x 1 + 2 a + ω 2

El móvil parte de x2 con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

kx2-mgsinθ μsmgcosθ,
ω2x2
a-.

en caso contrario la posición x2 será la posición final del bloque en reposo.

Supongamos que se cumple la primera condición. Ponemos el contador de tiempo parcial a cero. Las condiciones iniciales son t=0, x=x2, v=0, Tomamos las ecuaciones del movimiento del bloque en contacto con el muelle, hacia arriba. Después de un tiempo t tal que ωt=π. El móvil se para en la posición

x 3 =( x 2 a ω 2 )cosπ+ a ω 2 = x 2 + 2 a ω 2

y así, sucesivamente, hasta que se detiene en una posición xi>0

Creamos un script con MATLAB para representar la posición x y velocidad v del bloque en función del tiempo

mu=0.3;  %coeficiente de rozamiento
m=1; %masa del bloque
angulo=pi/6;  %ángulo del plano inclinado
k=50;   %constante del muelle
x0=-1;   %posición inicial
g=9.8;     %aceleración de la gravedad 
w=sqrt(k/m);
tipo=0;

%aceleraciones
aMas=g*(sin(angulo)-mu*cos(angulo));
aMenos=g*(sin(angulo)+mu*cos(angulo));
t=0;        %%tiempo parcial
xBloque=x0;  %posición del bloque
vBloque=0;  %velocidad del bloque
A=0; B=0; vFinal=0; %variables auxiliares

dt=0.01;
tt=0:dt:3;  %tiempo total
x=zeros(1,length(tt));
v=zeros(1,length(tt));
if mu>tan(angulo)
    x=x+x0;
else
    for i=1:length(tt)
        switch tipo
            case 0
                xBloque=x0+aMas*t^2/2;
                vBloque=aMas*t;
                if t>sqrt(-2*x0/aMas)
                    xBloque=0;
                    vBloque=sqrt(-2*x0*aMas);
                    A=vBloque/w;
                    B=-aMas/w^2;
                    tipo=1;
                    t=0;
                end
            case 1
                xBloque=A*sin(w*t)+B*cos(w*t)+aMas/w^2;
                vBloque=A*w*cos(w*t)-B*w*sin(w*t);
                if vBloque<0.0
                    t=(pi-atan(-A/B))/w;
                    vBloque=0;
                    xBloque=A*sin(w*t)+B*cos(w*t)+aMas/w^2;
                    x0=xBloque;  %máximo desplazamiento
                    B=xBloque-aMenos/w^2;
                    A=0;
                    t=0;
                    tipo=2;
                    if (w^2*xBloque)<aMenos    %queda quieto
                        tipo=4;
                    end
                    if xBloque>1  %comprime completamente el muelle
                        xBloque=1;
                        vBloque=0;
                        tipo=4; 
                    end
                end
            case 2
                 xBloque=B*cos(w*t)+aMenos/w^2;
                 vBloque=-B*w*sin(w*t);
                if vBloque>0.0   
                    t=pi/w;
                    xBloque=B*cos(w*t)+aMenos/w^2;
                    vBloque=0.0;
                    t=0;
                    tipo=4;
                    if (w^2*xBloque)<aMas
                        A=0;
                        B=xBloque-aMas/w^2;
                        tipo=1;
                    end
                end
                if xBloque<0  %el bloque pasa por el origen
                t=(pi-acos(aMenos/(w^2*x0-aMenos)))/w;
                    xBloque=0.0;
                    vBloque=-B*w*sin(w*t);
                    vFinal=vBloque;
                    t=0.0;
                    tipo=3;
                end
            case 3
                xMuelle=0.0;
                xBloque=vFinal*t+aMenos*t^2/2;
                vBloque=vFinal+aMenos*t;
                if vBloque>0
                    x0=xBloque;
                    vBloque=0;
                    tipo=0;
                    t=0.0;
                end
            case 4
            otherwise
                break;  
        end
        x(i)=xBloque;
        v(i)=vBloque;
        t=t+dt;
    end
end
subplot(2,1,1)
plot(tt,x, 'red')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('x(m)')
subplot(2,1,2)
plot(tt,v,'blue')
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('v(m/s)')