Dinámica de una partícula unida a dos cuerdas elásticas

Supongamos un cuerpo de masa m que cuelga de una cuerda de constante k1, otra cuerda de constante k2 cuelga del cuerpo. Se tira de la cuerda inferior de modo que su extremo libre se mueve con velocidad constante v. Suponiendo que las cuerdas no tienen masa y se comportan de acuerdo a la ley de Hooke (fuerza proporcional a la deformación). Vamos a calcular la altura x del peso en función del tiempo t y las tensiones T1 y T2 de las dos cuerdas.

En el instante t=0, la tensión de la cuerda roja es T1=mg y su deformación es ΔL1=mg/k1. La tensión de la cuerda azul es,T2=0.

Situamos el origen en esta posición del cuerpo (figura izquierda) con el eje X apuntando hacia abajo

En el instante t, la longitud de la cuerda azul es L2+vt-x, tal como vemos en la figura. De modo que la tensión T2 de esta cuerda es

T2=k2(L2+vt-x-L2)=k2(vt-x)

La tensión de la cuerda roja es

T1=k1x+mg

Ecuación del movimiento

El cuerpo de masa m, se mueve bajo la acción de las fuerzas T2, T1 (las tensiones de las cuerdas) y su peso mg, en los sentidos señalados en la figura de la derecha. La ecuación del movimiento es

m d 2 x d t 2 = k 2 (vtx)+mg( k 1 x+mg) d 2 x d t 2 + k 1 + k 2 m x= k 2 v m t

La solución particular de esta ecuación diferencial es x1=Ct, introduciendo x1 en la ecuación diferencial obtenemos el valor de C

C= k 2 v k 1 + k 2

La solución de la homogénea es Asin(ωt)+Bcos(ωt). La solución completa es

x=Asin( ωt )+Bcos( ωt )+ k 2 v m ω 2 t ω 2 = k 1 + k 2 m dx dt =Aωcos( ωt )Bωsin( ωt )+ k 2 v m ω 2

A y B vienen determinados por las condiciones iniciales, en el instante t=0, x=0, dx/dt=0.

x= k 2 v m ω 3 ( ωtsin( ωt ) ) dx dt = k 2 v m ω 2 ( 1cos( ωt ) )

Las tensiones de las cuerdas son

T 1 = k 1 x+mg= k 2 v m ω 3 ( k 1 ωt k 1 sin( ωt ) )+mg T 2 = k 2 (vtx)= k 2 v m ω 3 ( k 1 ωt+ k 2 sin( ωt ) )

Ambas tensiones se hacen iguales T2=T2, en el instante tc

sin( ω t c )= mωg k 2 v

y esto ocurre siempre que el parámetro

k 2 v mωg 1

Si las cuerdas aguantan una tensión máxima, dependiendo del valor de este parámetro una de las cuerdas se romperá antes que la otra. Por ejemplo, para k1/m=200, k2/m=100, y v=1. La cuerda azul (inferior) se rompe antes que la roja. Para k1/m=100, k2/m=100, y v=2. la cuerda roja se puede romper antes que la azul, dependiendo del valor de la tensión máxima.

k1=140; %constante elástica la primera cuerda 
k2=100; %constante elástica de la segunda cuerda 
m=1;   %masa de la partícula
v=1.9; %velocidad con la que se tira del extremo de la segunda cuerda

w=sqrt((k1+k2)/m); %frecuencia angular
T2=@(w_t) (k2*v*(k1*w_t+k2*sin(w_t))/(m*w^3))/(m*9.8); %tensión/peso
T1=@(w_t) (k2*v*k1*(w_t-sin(w_t))/(m*w^3)+m*9.8)/(m*9.8); %tensión/peso
hold on
fplot(T1,[0,15],'r');
fplot(T2,[0,15],'b');
hold off
grid on
legend('primera','segunda','location','northwest')
xlabel('\omega┬Ět')
ylabel('T_1,T_2')
title('Tensiones de las cuerdas')

Energías

En la figura de la izquierda tenemos la situación inicial, la cuerda roja está deformada mg/k1. La energía inicial es

E 0 = 1 2 k 1 ( mg k 1 ) 2

Al cabo de un tiempo t, el trabajo W de la fuerza que aplicamos en el extremo libre T2 para que se mueva con velocidad v constante es

W= 0 t T 2 v·dt = 0 t k 2 v m ω 3 ( k 1 ωt+ k 2 sin( ωt ) )vdt = 1 2 k 1 k 2 v 2 m ω 2 t 2 + k 2 2 v 2 m ω 4 k 2 2 v 2 m ω 4 cos( ωt )

Este trabajo se convierte en energía elástica de las cuerdas deformadas, energía potencial y cinética del cuerpo de masa m

E= 1 2 k 1 ( mg k 1 +x ) 2 + 1 2 k 2 ( vtx ) 2 mgx+ 1 2 m ( dx dt ) 2

Comprobamos después de una larga simplificación que W=E-E0

Actividades

Se introduce

Se ha fijado

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento del sistema y a la derecha, la representación gráfica de las tensiones T1/mg y de T2/mg en función de ωt

En la parte inferior izquierda, se proporciona el valor del parámetro p

k 2 v mωg


Referencias

Hiroyuki Shima. Analytic expression for the pull-or-jerk experiment. Eur. J. Phys. 35(2014) 065016