Movimiento sobre una cúpula en forma de cicloide

con rozamiento

Situamos los ejes tal como se muestra en la figura. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide referida a estos ejes son

x=R(φ+sinφ)
y=R(1+cosφ)

Cuando φ=0, x=0, y=2R, cuando φ=π, x=πR, y=0. Donde R y φ son dos parámetros

La pendiente de la recta tangente a la curva en la posición (x, y), tal como vemos en la figura.

tanθ= dy dx = Rsinφ·dφ R(1+cosφ)·dφ = 2sin( φ/2 )cos( φ/2 ) 2 cos 2 ( φ/2 ) =tan φ 2

Omitimos el signo y expresamos las ecuaciones paramétricas de la cúpula en forma de cicloide, en términos del ángulo (positivo) de la pendiente φ=2θ

x=R(2θ+sin(2θ))
y=R(1+cos(2θ))

dado el valor del parámetro θ en el intervalo 0≤θ≤π/2, se determina la posición (x, y) de la partícula sobre la cúpula

Calculamos ahora la longitud del arco s, entre el vértice y el punto de coordenadas (x, y)

d s 2 =d x 2 +d y 2 =( 4 R 2 ( 1+cos(2θ) ) 2 +4 R 2 sin 2 (2θ) ) ( dθ ) 2 =16 R 2 cos 2 θ· ( dθ ) 2 ds=4Rcosθ·dθ s= 0 θ 4Rcosθ·dθ=4Rsinθ

La longitud del arco comprendido entre el vértice (0, 2R) y el extremo (πR,0) es s=4R

El radio de curvatura ρ de la cicloide en la posición (x, y) se calcula mediante la fórmula

ρ= ( 1+ ( dy dx ) 2 ) 3/2 d 2 y d x 2

Calculamos la derivada primera dy/dx y segunda d2y/dx2

dy dx = 2Rsin(2θ)·dθ 2R( 1+cos(2θ) )·dθ = 2sinθcosθ 2 cos 2 θ =tanθ d dx ( dy dx )= d dθ ( dy dx ) 1 dx dθ = 1 cos 2 θ 1 2R·2 cos 2 θ = 1 4R cos 4 θ

El resultado es

ρ= ( 1+ tan 2 θ ) 3/2 1 4R cos 4 θ =4Rcosθ

El mismo resultado se obtiene a partir de la definición de radio de curvatura, ds=ρ·dθ

ρ= ds dθ =4Rcosθ

El radio de curvatura es una cantidad positiva, es máximo en el vértice ρ=4R, y es mínimo en los extremos de la trayectoria ρ=0.

Dibujamos el arco de cicloide en el intervalo 0≤θ≤π/2, calculamos la expresión del radio de curvatura, dibujamos la tangente y la normal a la cicloide en el punto correspondiente al parámetro θ=π/6. El extremo de la normal es el centro de curvatura (no se ve en la figura), pero puede verse desplazando la gráfica mediante la herramienta 'Pan'

syms th xx;
R=1;
x=R*(2*th+sin(2*th));
y=R*(1+cos(2*th));
yp=diff(y,th)/diff(x,th);
ypp=diff(yp,th)/diff(x,th);
r=(1+yp^2)^(3/2)/ypp;
hold on
ezplot(x,y,[0,pi/2])
grid on
x1=double(subs(x,th,pi/6));
y1=double(subs(y,th,pi/6));
rho=double(subs(r,th,pi/6));
m1=double(subs(yp,th,pi/6)); %pendiente tangente
m2=-1/m1; %pendiente normal
xc=x1+rho/sqrt(m2^2+1); %centro de curvatura
yc=y1+m2*(xc-x1);
y=m2*xx+y1-m2*x1;
ezplot(y,[xc,x1]) %normal
y=m1*xx+y1-m1*x1;
ezplot(y,[x1-0.5,x1+0.5]) %tangente

axis equal
xlim([0,pi])
ylim([0,2])
hold off
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Cicloide')

El radio de curvatura es máximo en el vértice, θ=0, ρ=4R, y es mínimo en, θ=π/2, ρ=0.

Ecuación del movimiento

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre la partícula, cuando se encuentra en la posición (x, y).

La partícula describe un movimiento con aceleración tangencial at y aceleración normal an. Estas aceleraciones se determinan aplicando la segunda ley de Newton

Teniendo en cuenta las definiciones de aceleración tangencial at y aceleración normal an,

a t = dv dt a n = v 2 ρ

Eliminando la reacción N de la superficie en el punto de contacto, expresamos las dos ecuaciones del movimiento en una única ecuación diferencial

dv dt =gsinθμgcosθ+μ v 2 ρ

La velocidad v y la aceleración dv/dt se expresan en términos del parámetro θ y sus derivadas respecto del tiempo.

v= ds dt =4Rcosθ dθ dt dv dt =4Rsinθ ( dθ dt ) 2 +4Rcosθ d 2 θ d t 2

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

d 2 θ d t 2 ( μ+tanθ ) ( dθ dt ) 2 + g 4R ( μtanθ )=0

que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=0, ( dθ dt ) 0 = v 0 4R . Donde v0 es la velocidad inicial. En un apartado más abajo, resolveremos utilizando MATLAB la ecuación del movimiento. En la simulación se utiliza el procedimiento de Runge-Kutta

La partícula se detiene o deja de tener contacto con la cúpula

La ecuación del movimiento se puede integrar para obtener una expresión de la velocidad v en función del parámetro θ.

dv dt =gsinθμgcosθ+μ v 2 ρ v dv ds =gsinθμgcosθ+μ v 2 4Rcosθ 1 8Rcosθ d v 2 dθ =gsinθμgcosθ+μ v 2 4Rcosθ

Llamando x=v2/(2Rg), nos queda la ecuación diferencial

dx dθ 2μx=2( sin(2θ)μcos(2θ)μ )

La solución de la ecuación diferencial se compone de dos términos:

La solución particular x1=Asinθ+Bcosθ+C

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A, B y C

A= 2μ μ 2 +1 B= μ 2 1 μ 2 +1 C=1

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

dx dθ 2μx=0 dx x =2μ·dθ dx x = 2μ·dθ

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=2μθ+cte, o bien,x2=D·exp(2μθ)

La solución completa es x=x1+x2

v 2 2Rg =Dexp(2μθ) 2μ 1+ μ 2 sin(2θ)+ μ 2 1 1+ μ 2 cos(2θ)+1

La constante D se determina a partir de las condiciones iniciales, para θ=0, v=v0

Finalmente, la ecuación que nos proporciona la velocidad v en función del parámetro θ, es

v 2 2Rg = 2μ 1+ μ 2 sin(2θ)+ μ 2 1 1+ μ 2 cos(2θ)+( v 0 2 2Rg 2 μ 2 1+ μ 2 )exp( 2μθ )+1

La reacción N de la cúpula se calcula conociendo v2 en la posición dada por el parámetro θ

mgcosθN=m v 2 ρ N mg =cosθ( v 2 2Rg ) 1 2cosθ

Si no hay rozamiento, μ=0

La expresión de v2/(2Rg) se reduce a

v 2 = v 0 2 +2Rg( 1cos(2θ) ) v 2 = v 0 2 +2g(2Ry)

La misma expresión se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía.

La partícula, deja de tener contacto con la cúpula para el valor del parámetro θs tal que N=0.

mgcosθN=m v 2 ρ mgcosθ=m v 2 4Rcosθ 2 cos 2 θ s = v 2 2Rg cos(2 θ s )= 1 2 v 0 2 2Rg

Si la velocidad inicial v0=0, θs=π/4 (45°). En el caso de una cúpula semiesférica θs=arccos(2/3) (48°)

Una vez alcanzada la posición θs, la partícula describe un movimiento parabólico. Dicha posición (x,y) se calcula mediante las ecuaciones paramétricas de la cicloide

x=R(2θs+sin(2θs))
y=R(1+cos(2θs))

Representamos la reacción N/mg en función del parámetro θ hasta el ángulo crítico θs, posición en la que se anula N=0

R=1;
v0=2; %velocidad inicial
v2=@(x) v0^2+2*R*9.8*(1-cos(2*x)); %cuadrado velocidad
N=@(x) cos(x)-v2(x)./(4*9.8*R*cos(x)); %normal

th_c=acos(v0^2/(4*R*9.8))/2; %ángulo crítico N=0
fplot(N,[0,th_c])
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('N/mg')
title('Normal')

Si hay rozamiento μ≠0

Pueden ocurrir dos casos:

Sea una cúpula en forma de cicloide de R=1, la velocidad inicial en la posición θ=0, es v0=2 m/s, el coeficiente de rozamiento es μ=0.2. Representamos v2/(2Rg) y la reacción N/mg en función del parámetro θ

mu=0.2; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad inicial para theta=0,
R=1;

v2=@(x) (v0^2/(2*R*9.8)-2*mu^2/(1+mu^2))*exp(2*mu*x)+
(mu^2-1)*cos(2*x)/(1+mu^2)-2*mu*sin(2*x)/(1+mu^2)+1;
N=@(x) cos(x)-v2(x)./(2*cos(x));

subplot(2,1,1)
fplot(v2,[0,pi/2])
grid on
ylim([-0.5,1])
xlabel('\theta')
ylabel('v^2/Rg')
title('Velocidad')

subplot(2,1,2)
fplot(N,[0,pi/2])
grid on
ylim([-0.5,1])
xlabel('\theta')
ylabel('N/mg')
title('Normal')

La velocidad disminuye y luego aumenta. La reacción N se hace cero para un valor crítico del parámetro θc, que calculamos mediante la función fzero de MATLAB

>> fzero(N, [0,pi/2])
ans =    0.8387

Cambiamos el coeficiente de rozamiento a μ=0.4. Representamos v2/(2Rg) en función del parámetro θ

mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad inicial para theta=0,
R=1;

v2=@(x) (v0^2/(2*R*9.8)-2*mu^2/(1+mu^2))*exp(2*mu*x)+(mu^2-1)*cos(2*x)
/(1+mu^2)-2*mu*sin(2*x)/(1+mu^2)+1;
fplot(v2,[0,pi/2])
ylim([-0.5,1])
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v^2/2Rg')
title('Velocidad')

La partícula se detiene v=0, en la posición dada por el parámetro θc que calculamos utilizando la función fzero de MATLAB

>> fzero(v2,[0,0.5])
ans =    0.1758

Velocidad inicial crítica y ángulo crítico

Fijamos el coeficiente de rozamiento, por ejemplo, μ=0.25, y vamos cambiando la velocidad inicial v0 con el que lanzamos la partícula en la posición θ=0.

mu=0.25; %coeficiente de rozamiento
R=1;

hold on
for v0=[1.4,1.7,1.9] %velocidades iniciales
    v2=@(x) (v0^2/(2*R*9.8)-2*mu^2/(1+mu^2))*exp(2*mu*x)+(mu^2-1)*cos(2*x)
/(1+mu^2)-2*mu*sin(2*x)/(1+mu^2)+1;
    fplot(v2,[0,pi/2], 'displayName',num2str(v0))
end
hold off
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
line([atan(mu),atan(mu)],[-0.05,0.2],'linestyle','--');
ylim([-0.05,0.2])
grid on
xlabel('\theta')
ylabel('v^2/2Rg')
title('Velocidades')

En la figura, se representa el cuadrado de la velocidad de la partícula v2/(2Rg) en función del parámetro θ, para varias velocidades iniciales v0=1.4, 1.7, 1.9 m/s. Se ha fijado el parámetro R=1.0 m

Existe una velocidad inicial crítica v0,c para el cual la velocidad v de la partícula presenta un mínimo v=0 en el ángulo θc denominado ángulo crítico.

v 2 ( θ c )=0 ( d v 2 dθ ) θ c =0

Tenemos un sistema de dos ecuaciones, haciendo operaciones y simplificando

{ 2μ 1+ μ 2 sin(2 θ c )+ μ 2 1 1+ μ 2 cos(2 θ c )+( v 0 2 2Rg 2 μ 2 1+ μ 2 )exp( 2μ θ c )+1=0 2 2μ 1+ μ 2 cos(2 θ c )2 μ 2 1 1+ μ 2 sin(2 θ c )+2μ( v 0 2 2Rg 2 μ 2 1+ μ 2 )exp( 2μ θ c )=0 1 μ sin(2 θ c )+cos(2 θ c )+1=0

llegamos a la siguiente relación

tanθc=μ

Empleando las relaciones trigonométricas

cos(2 θ c )= 1 tan 2 θ c 1+ tan 2 θ c = 1 μ 2 1+ μ 2 sin(2 θ c )= 2tan θ c 1+ tan 2 θ c = 2μ 1+ μ 2

Calculamos la velocidad inicial crítica v0,c en θ=0 para la cual la partícula se detiene en θc.

v 0,c 2 2Rg = 2 μ 2 1+ μ 2 ( 1 μ 2 1+ μ 2 exp( 2μarctanμ ) )

Representamos el cuadrado de la velocidad inicial crítica, en función del coeficiente de rozamiento μ

R=1;
v2=@(x) (2*x.^2).*(1-(x.^2).*exp(-2*x.*atan(x))./(1+x.^2))./(1+x.^2);
fplot(v2,[0,4])
grid on
xlabel('\mu')
ylabel('v^2/2Rg')
title('Velocidad crítica')

La curva divide el plano (μ, v0) en dos regiones. Fijado el valor de μ

Balance energético

La energía de la partícula en la posición inicial es

Cuando la partícula se encuentra en la posición definida por el parámetro es θ.

La fuerza de rozamiento Fr=μN, tiene la misma dirección (tangencial) que el desplazamiento, el arco ds, pero de sentido contrario. El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es.

W nc = 0 θ μN·ds=μm 0 θ ( gcosθ v 2 ρ )ds= μm 0 θ ( gcosθ v 2 4Rcosθ )4Rcosθ·dθ=μm 0 θ ( 4gR cos 2 θ v 2 )dθ

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento Wnc<0 es igual a la diferencia entre la energía final menos la energía inicial.

W nc =( 1 2 m v 2 +mgR+mgRcos(2θ) )( 1 2 m v 0 2 +mg(2R) )

Resulta

v 2 2Rg v 0 2 2Rg =( 1cos(2θ) )μ 0 θ ( 4 cos 2 θ v 2 Rg )dθ x x 0 =( 1cos(2θ) )2μ 0 θ (2 cos 2 θx)dθ

Derivando con respecto a θ

dx dθ =2sin(2θ)2μ( 2 cos 2 θx ) dx dθ 2μx=2( sin(2θ)μcos(2θ)μ )

La misma ecuación diferencial que obtuvimos por dinámica

Solución numérica de la ecuación del movimiento

Primero, calculamos el ángulo límite para el cual la partícula se detiene v=0, o bien, la reacción de la cúpula N=0. Después, resolvemos la ecuación diferencial del movimiento que se ha deducido al principio de esta página.

mu=0.4; %coeficiente de rozamiento
v0=2; %velocidad inicial para theta=0,
R=1;
Vc=sqrt(2*R*9.8*(2*mu^2)*(1-(mu^2)*exp(-2*mu*atan(mu))/(1+mu^2))/(1+mu^2));

v2=@(x) (v0^2/(2*R*9.8)-2*mu^2/(1+mu^2))*exp(2*mu*x)+(mu^2-1)*cos(2*x)
/(1+mu^2)-2*mu*sin(2*x)/(1+mu^2)+1;
N=@(x) cos(x)-v2(x)./(2*cos(x));
if v0<Vc
    aLimite=fzero(v2,atan(mu));
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula_1(t,x));
    disp('velocidad nula')
else
    aLimite=fzero(N,[0,pi/2]);
    opts=odeset('events',@(t,x) stop_cupula(t,x,aLimite));
    disp('normal nula')
end

x0=[0, v0/(4*R)];
f=@(t,x) [x(2);(mu+tan(x(1)))*x(2)^2-9.8*(mu-tan(x(1)))/(4*R)];
tspan=[0,10]; 
[t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);

plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('\theta')
title('Cicloide con rozamiento')

Definimos dos funciones para que el proceso de integración se detenga cuando N sea cero o cuando la derivada dθ/dt sea cero.

function [value,isterminal,direction]=stop_cupula(~,x,xFin)
    value=xFin-x(1); 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end
function [value,isterminal,direction]=stop_cupula_1(~,x)
    value=x(2); 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Cuando μ=0.2 y v0=2. La partícula deja de tener contacto con la cúpula, N=0 cuando θ=0.8387, tal como vemos en la gráfica (ordenda Y)

normal nula
>> aLimite
aLimite =  0.8387

Cambiamos el coeficiente de rozamiento μ=0.4, la partícula se detiene dθ/dt=0, para θ=0.1758.

velocidad nula
>> aLimite
aLimite =    0.1758

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos el movimiento de la partícula deslizando sobre la cúpula. Sobre la partícula se dibujan las fuerzas: peso mg, reacción N, y fuerza de rozamiento Fr.

En la parte superior derecha, se proporcionan los datos de

Cuando la reacción N se hace cero, se muestran los datos de la a velocidad v en la posición θc en la que la partícula deja de tener contacto con la cúpula.

El círculo situado en la parte superior izquierda representa la energía total de la partícula, la porción de color rojo representa la energía cinética, y la porción azul, la energía potencial. Observamos que la energía potencial se va transformando en energía cinética, pero la suma de los valores de ambas clases de energía no se mantiene constante a lo largo de la trayectoria de la partícula si hay rozamiento. El trabajo de la fuerza de rozamiento viene indicado por la porción negra del círculo de mayor radio.

Mediante una línea roja a trazos se señala el valor límite del parámetro θ, para el cual la reacción N=0 o la partícula se detiene, su velocidad v=0


Referencias

Felipe González-Cataldo, Gonzalo Gutiérrez. Julio M. Yáñez. Sliding down an arbitrary curve in the presence of friction. Am. J. Phys. 85 (2) February 2017, 108-114