Sistema conservativo

El sistema consiste en dos planos inclinados iguales, un ángulo θ. A lo largo de los planos deslizan dos cuerpos (carritos) de la misma masa m. Los dos cuerpos están unidos mediante cuerdas, que pasan por poleas de masa y radio despreciables, a un cuerpo de masa M (contrapeso) que se mueve verticalmente entre los dos planos inclinados que distan 2d.

Cinemática

La posición del carrito de masa m es x a lo largo del plano inclinado y la posición vertical del contrapeso de masa M es y. Ambas posiciones están relacionadas, tal como se aprecia en el triángulo rectángulo inferior.

Dinámica

Las fuerzas sobre el cuerpo de masa m situado sobre el plano inclinado, son:

Las fuerzas sobre el cuerpo de masa M que cuelga, son:

Equilibrio

El carrito está siempre en equlibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado, N=mgcosθ

Cuando está en equilibrio en la dirección del plano inclinado, T=mgsinθ

El contrapeso, estará en equilibrio si

2Tsinφ=Mg

sinφ= M 2msinθ

Dado que sinφ no puede ser mayor o igual que la unidad. Habrá equilibrio siempre que M≤2msinθ

Como cosφ=d/(x+d), obtenemos la posición xe de equilibrio del carrito sobre el plano inclinado.

x e =d( 2msinθ 4 m 2 sin 2 θ M 2 1 )

Ecuaciones del movimiento

La ecuación del movimiento del cuerpo de masa m a lo largo del plano inclinado es

m d 2 x d t 2 =Tmgsinθ

La ecuación del movimiento vertical del cuerpo de masa M es

M d 2 y d t 2 =Mg2Tsinφ

Eliminamos la tensión T de la cuerda y relacionamos las dos aceleraciones (véase el apartado Cinemática)

( M x+d y +2m y x+d ) d 2 x d t 2 =M d 2 y 3 ( dx dt ) 2 +Mg2mg y x+d sinθ

Se resuelve la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, el cuerpo de masa m parte del reposo dx/dt=0, desde la posición x0

Conservación de la energía

Si los carritos parten del reposo desde la posición inicial x0 y el contrapeso parte de la posición inicial y0, la energía inicial es

E 0 =Mg y 0 +2mg x 0 sinθ

Los carritos deslizan se encuentran en el instante t en la posición x y se mueven con velocidad dx/dt, mientras el contrapeso se encuentra en la posición y con velocidad dy/dt, el principio de conservación de la energía se escribe

E 0 =Mgy+ 1 2 M ( dy dt ) 2 +m ( dx dt ) 2 +2mgxsinθ

Como las velocidades dx/dt y dy/dt están relaciondas

E 0 =Mgy+( 1 2 M ( x+d y ) 2 +m ) ( dx dt ) 2 +2mgxsinθ ( dx dt ) 2 =2 y 2 E 0 +Mgy2mgxsinθ M ( x+d ) 2 +2m y 2

Velocidades

Representamos el cuadrado de la velocidad dx/dt para dos ángulos del plano inclinado θ=10.2° y 8°, tomando m/M=3, la separación entre los planos inclinados d=0.15 m, la posición de partida del carrito, en reposo, es x0=0.1 m

m=3; %cuerpo sobre plano inclinado
M=1; % cuerpo que cuelga
d=0.15; %distancia entre planos inclinados
x0=0.1;

hold on
for th=[8,10.2]*pi/180 %ángulo de los planos inclinados
    E0=-M*9.8*sqrt(x0^2+2*d*x0)+2*m*9.8*x0*sin(th);
    v2=@(x) 2*(x.^2+2*d*x).*(E0+M*9.8*sqrt(x.^2+2*d*x)-
2*m*9.8*x*sin(th))./((M*(x+d).^2+2*m*(x.^2+2*d*x)));
    fplot(v2,[x0,1],'displayName',num2str(th*180/pi))
end
hold off
legend('-DynamicLegend','location','northeast')
xlabel('x')
ylabel('v^2')
grid on
title('Velocidad')

Para θ=8°, la velocidad del carrito crece indefindamente. Para θ=10.2° la velocidad crece, pasa por un máximo en x≈0.3 m y luego, decrece hasta hacerse cero en x≈0.7 m

Aceleraciones

Sustituimos dx/dt en la ecuación diferencial del movimiento, para expresar la aceleración en función de la posición x

( M x+d y +2m y x+d ) d 2 x d t 2 =2M d 2 y E 0 +Mgy2mgxsinθ M ( x+d ) 2 +2m y 2 +Mg2mg y x+d sinθ

Representamos la aceleración dx/dt de los carritos y la aceleración dy/dt del contrapeso para m/M=3, el ángulo del plano inclinado inclinado es θ=10°, la separación entre los planos inclinados d=0.15 m. La posición de partida del carrito en reposo, es muy próxima al origen x0=0.001 m

m=3; %cuerpo sobre plano inclinado
M=1; % cuerpo que cuelga
d=0.15; %distancia entre planos inclinados
th=10*pi/180; %ángulo de los planos inclinados
x0=0.001; %posición de partida
E0=-M*9.8*sqrt(x0^2+2*d*x0)+2*m*9.8*x0*sin(th);
v2=@(x) 2*(x.^2+2*d*x).*(E0+M*9.8*sqrt(x.^2+2*d*x)-
2*m*9.8*x*sin(th))./((M*(x+d).^2+2*m*(x.^2+2*d*x)));
a=@(x) (M*d^2*v2(x)./(x.^2+2*d*x).^(3/2)-2*m*9.8*sin(th)*
sqrt(x.^2+2*d*x)./(x+d)+M*9.8)./(2*m*sqrt(x.^2+2*d*x)./(x+d)+M*(x+d).
/sqrt(x.^2+2*d*x)); 
ap=@(x) (x+d).*a(x)./sqrt(x.^2+2*d*x)-d^2*v2(x)./(x.^2+2*d*x).^(3/2);
hold on
fplot(a,[x0,0.2])
fplot(ap,[x0,0.2])
hold off
xlabel('x')
ylabel('a')
legend('a','a_p')
grid on
title('aceleraciones')

La aceleración a de los carritos tiende a cero y la aceleración del contrapeso ap tiende a g cuando nos aproximamos al origen x→0. Tal como se aprecia en la siguiente figura, cuando x=0, las cuerdas que sujetan al contrapeso son horizontales. La aceleración de este cuerpo es la gravedad y nula la aceleración de los carritos

Angulo límite

Cuando x o y se hacen grandes, el ángulo φ→π/2, sinφ=y/(x+d) →1, la aceleración dx/dt tiende a cero y la velocidad tiende hacia un valor constante cuando

Mg2mg y x +d sinθ=0 M=2msin( π 2 )·sinθ M=2msinθ

Para m/M=3, el ángulo límite θ=9.59°

Cuando se cumple esta condición, M=2msinθ, escribimos el cuadrado de la velocidad (dx/dt)2 de la forma

( dx dt ) 2 =2 E 0 +2mgdsinθ+2mg( y(x+d) )sinθ M ( x+d y ) 2 +2m

Cuando x o y se hacen grandes, el ángulo φ→π/2, sinφ=y/(x+d) →1, el cuadrado de la velocidad tiende a

( dx dt ) 2 2 E 0 +2mgdsinθ M+2m

m=3; %cuerpo sobre plano inclinado
M=1; % cuerpo que cuelga
d=0.15; %distancia entre planos inclinados
x0=0.1;
th=asin(M/(2*m)); %ángulo del plano inclinado
E0=-M*9.8*sqrt(x0^2+2*d*x0)+2*m*9.8*x0*sin(th);
v=@(x) sqrt(2*(x.^2+2*d*x).*(E0+M*9.8*sqrt(x.^2+2*d*x)-
2*m*9.8*x*sin(th))./((M*(x+d).^2+2*m*(x.^2+2*d*x))));
fplot(v,[x0,5])
xlabel('x')
ylabel('v')
grid on
title('Velocidad')

El ángulo del plano inclinado θ y la velocidad límite constante son

>> th*180/pi
ans =    9.5941
>> sqrt(2*(E0+2*m*9.8*d*sin(th))/(M+2*m))
ans =    0.3742

Ejemplos

Resolvemos la ecuación diferencial del movimiento para m/M=3, el ángulo del plano inclinado inclinado es θ=10°, la separación entre los planos inclinados d=0.15 m. La posición de partida del carrito, en reposo, es x0=0.1 m

Dado que 2·3·sin10°>1, tendremos un sistema oscilante alrededor de la posición de equilibrio xe=38.4 cm. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad máxima, ve cuando pasa por dicha posición

v e 2 = 2 y e ( E 0 +Mg y e 2mg x e sinθ ) M ( x e +d ) 2 +2m y e 2

Elaboramos un script para representar la velocidad dx/dt en función de la posición x del carrito

m=3; %cuerpo sobre plano inclinado
M=1; % cuerpo que cuelga
d=0.15; %distancia entre planos inclinados
th=10*pi/180; %ángulo de los planos inclinados
f=@(t,x) [x(2);	(M*d^2*x(2)^2/(x(1)^2+2*d*x(1))^(3/2)-
2*m*9.8*sin(th)*sqrt(x(1)^2+2*d*x(1))/(x(1)+d)+M*9.8)
/(2*m*sqrt(x(1)^2+2*d*x(1))/(x(1)+d)+M*(x(1)+d)/sqrt(x(1)^2+2*d*x(1)))]; 
[t,x]=ode45(f,[0,15],[0.1,0]);
plot(x(:,1),x(:,2))
%equilibrio
if M<=2*m*sin(th)
    xe=d*(2*m*sin(th)/sqrt(4*m^2*sin(th)^2-M^2)-1);
    ye=sqrt(xe^2+2*d*xe);
    x0=0.1;
    y0=sqrt(x0^2+2*d*x0);
    E0=(-M*y0+2*m*x0*sin(th))*9.8; %energía inicial
    %velocidad máxima
    ve=sqrt((E0+M*9.8*ye-2*m*9.8*xe*sin(th))/((M/2)*((xe+d)/ye)^2+m)); 
    line([xe,xe],[-ve,ve],'lineStyle','--')
end

grid on
xlabel('x')
ylabel('v')
title('posición-velocidad')

La posición de equilibrio del carrito xe y la velocidad cuando pasa por esta posición son

>> xe
xe =    0.3844
>> ve
ve =    0.2143

El procedimiento ode45 nos proporciona la posición x y la velocidad dx/dt del carrito en función del tiempo t, comprobamos el principio de conservación de la energía

>> -M*9.8*sqrt(x(:,1).^2+2*d*x(:,1))+
(M/2)*(x(:,2).^2).*(x(:,1)+d).^2./(x(:,1).^2+
2*d*x(:,1))+m*(x(:,2).^2)+2*m*9.8*x(:,1)*sin(th)
ans =
   -0.9389
   -0.9389
   .....
   -0.9390
   -0.9390
   -0.9390

Resolvemos la ecuación diferencial del movimiento para m/M=3, la separación entre los planos inclinados d=0.15 m. La posición de partida del carrito, en reposo, es x0=0.05 m

Representamos la velocidad del carrito dx/dt en función de la posición x, para los siguientes ángulos del plano inclinado:

Definimos una función para que el procedimiento ode45 se detenga cuando x>1, o cuando la velocidad dx/dt se hace cero

function [value,isterminal,direction]=stop_conservativo(t,x)
    value=[x(2), x(1)-1];
    isterminal=[1,1]; %1 detiene la integración    
    direction=[-1,1]; % 1 crece, -1 decrece, 0 no importa
end

Elaboramos un script para representar las trayectorias en el espacio de las fases

m=3; %cuerpo sobre plano inclinado
M=1; % cuerpo que cuelga
d=0.15; %distancia entre planos inclinados
hold on
opts=odeset('events',@stop_conservativo);

for th=[12,11,9.59,8,7]*pi/180
    f=@(t,x) [x(2);	(M*d^2*x(2)^2/(x(1)^2+2*d*x(1))^(3/2)-2*m*9.8*sin(th)*
sqrt(x(1)^2+2*d*x(1))/(x(1)+d)+M*9.8)/(2*m*sqrt(x(1)^2+2*d*x(1))
/(x(1)+d)+M*(x(1)+d)/sqrt(x(1)^2+2*d*x(1)))]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,10],[0.05,0],opts);
    plot(x(:,1),x(:,2),'displayName',num2str(th*180/pi))
end
hold off
grid on
legend('-DynamicLegend','location','southeast')
xlabel('x')
ylabel('v')
title('posición-velocidad')

Actividades

Se introduce

Se muestra el movimiento de los cuerpos y se proporcionan los datos del

El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente

| E E 0 E 0 |·100

donde E es la energía del sistema en cualquier instante t y E0 es la energía inicial del sistema.

Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte inferior izquierda. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.

Para x=0, y=0, varios términos de la ecuación diferencial del movimiento se hacen infinitos, para evitarlo, la energía del sistema tiene que ser negativa, E0<0. En el caso de que fuese positiva o nula, un mensaje nos lo advierte


Referencias

K. Mita, W. Shirley, C. R. Chang. An experiment with two air tracks. Am. J. Phys. 54 (5) May 1986, pp. 428-432