Movimiento de una partícula atada a una cuerda que se enrolla en un cilindro horizontal.

Cuando la partícula cae, en el instante t la parte de la cuerda que está enrollada en el cilindro es la longitud del arco de una circunferencia de radio R. Describiremos el movimiento de la partícula en términos del ángulo φ.

Para describir el movimiento de la partícula adoptamos el sistema de referencia que se muestra en la figura

Expresamos la velocidad y aceleración en coordenadas polares, véase el final de la página Movimiento de dos bloques atados por una cuerda

v = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^ a =( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dθ dt dr dt ) θ ^

Ecuaciones de la dinámica

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

Las ecuaciones del movimiento en la dirección radial r ^ y en la dirección θ ^ son, respectivamente

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )=mgsinθTcosδ m( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt )=mgcosθTsinδ

Donde sinδ=R/r y cosδ=(L-Rφ)/r

Despejamos la tensión T de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera

T m = r R { gcosθ( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) } ( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )=gsinθ r R { gcosθ( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) } (LRφ) r

Esta es la ecuación diferencial del movimiento de la partícula en términos de r y θ  y el ángulo φ que como veremos se simplifica notablemente al expresarla únicamente en términos de la variable φ.

El arduo trabajo algebraico consiste en expresar r y θ y sus derivadas en términos del ángulo φ y sus derivadas.

Como vemos en la figura

{ rsinθ=(LRφ)sinφRcosφ rcosθ=(LRφ)cosφ+Rsinφ tanθ= (LRφ)tanφR (LRφ)+Rtanφ r 2 = ( LRφ ) 2 + R 2

Expresamos las derivadas con respecto del tiempo t de r y θ en términos de φ y sus derivadas.

r dr dt =R(LRφ) dφ dt r 2 dθ dt = ( LRφ ) 2 dφ dt

A continuación, las derivadas segundas

r d 2 r d t 2 =R(LRφ) d 2 φ d t 2 + R 4 r 2 ( dφ dt ) 2 r 2 d 2 θ d t 2 = ( LRφ ) 2 d 2 φ d t 2 2 R 3 r 2 ( LRφ ) ( dφ dt ) 2

Las componentes de la aceleración

( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )= R r (LRφ) d 2 φ d t 2 + 1 r ( R 2 ( LRφ ) 2 ) ( dφ dt ) 2 ( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt )= ( LRφ ) 2 r d 2 φ d t 2 2R r (LRφ) ( dφ dt ) 2

Finalmente, expresamos la tensión de la cuerda y la ecuación del movimiento en términos del ángulo φ y sus derivadas.

T m =gsinφ+(LRφ) ( dφ dt ) 2 d 2 φ d t 2 = R (LRφ) ( g R cosφ+ ( dφ dt ) 2 )

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, φ=0, dφ/dt=0.

Una vez que conocemos el ángulo φ en función del tiempo, las coordenadas polares r y θ de la partícula se calculan del siguiente modo.

θ=arctan( (LRφ)sinφRcosφ (LRφ)cosφ+Rsinφ )r= ( LRφ ) 2 + R 2

A continuación, la abscisa x y la ordenada y de la partícula

x=r·cosθ
y=r·sinθ

Conservación de la energía

Ponemos el nivel cero de energía potencial en el origen.

La energía inicial de la partícula es Ei=mgR

La energía final de la partícula es

E f = 1 2 m( v r 2 + v θ 2 )mgrsinθ E f = 1 2 m( ( dr dt ) 2 + r 2 ( dθ dt ) 2 )mgrsinθ

Expresamos r, θ y sus derivadas en términos de φ y sus derivadas

gR= ( LRφ ) 2 2 ( dφ dt ) 2 g( (LRφ)sinφRcosφ ) ( dφ dt ) 2 = 2g( R+(LRφ)sinφRcosφ ) ( LRφ ) 2

La tensión T de la cuerda es una función del ángulo φ.

T m = g (LRφ) ( 3(LRφ)sinφ+2R2Rcosφ )

La tensión de la cuerda se anula cuando

3(LRφ)sinφ+2R2Rcosφ=0 3 2 ( φ L R )=tan( φ 2 )

Se resuelve por procedimientos numéricos esta ecuación trascendente.

La cuerda alcanzará la tensión nula siempre que no se enrolle completamente, es decir, Rφ<L. El primer término de la igualdad ha de ser negativo, por lo que se tiene que igualar a la rama negativa de tan(φ/2), es decir, el ángulo 180<φ<360, tal como se aprecia en la figura.

En la figura representamos la recta y=(3/2)(φ-L/R) y la función y=tan(φ/2) para L=6 m y R=1 m.

Denominamos longitud crítica de la cuerda Lc a aquella que se enrolla completamente en el cilindro y a la vez, alcanza la tensión cero en el punto de contacto de la partícula.

Como vemos en la figura, la recta y=(3/2)(φ-L/R) y la función y=tan(φ/2) se cortan en el punto de tangencia. En el punto de corte la pendiente de la función es 3/2.

3 2 = 1 2 1 cos 2 (φ/2) φ c =250.5º=4.372rad

Introducimos el valor del ángulo φ en la ecuación trascendente y despejamos el cociente L/R.

L c R = φ c 2 3 tan( φ c 2 ) L c R =5.315

Se utiliza la función buscar_intervalos, para encontrar el primer intervalo en el que la función g(x) cambia de signo. La función MATLAB fzero, encuentra el ángulo límite en dicho intervalo.

L=6; %longitud de la cuerda
aLimite=L;
%clacula el ángulo límite
if L>5.315
    g=@(x) 3*(L-x)/2+tan(x/2);
    xb=buscar_intervalos(g,pi+0.1,2*pi,50);
    aLimite=fzero(g,xb(1,1),xb(1,2));
end

%resuelve la ecuación diferencial
x0=zeros(1,2);
x0(1)=0; %posición inicial, x0
x0(2)=0; %velocidad inicial, v0:
f=@(t,x) [x(2); (9.8*cos(x(1))+x(2)^2)/(L-x(1))]; 
opts=odeset('events',@(t,x) stop_enrolla(t,x,aLimite));
tspan=[0 3]; %hasta un tiempo de 3
[t,x]=ode45(f,tspan,x0,opts);
%coordenadas polares
r=sqrt((L-x(:,1)).^2+1);
angulo=atan2((L-x(:,1)).*sin(x(:,1))-cos(x(:,1)), 
(L-x(:,1)).*cos(x(:,1))+sin(x(:,1)));
%coordenadas rectangulares
xp=r.*cos(angulo);
yp=-r.*sin(angulo);  
hold on
%dibuja el cilindro
z=0:pi/40:2*pi;
fill(sin(z),cos(z),'g')
%dibuja la trayectoria de la partícula
plot(xp,yp)
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y');
title('Cuerda que se enrolla')

Definimos la función stop_enrolla, para que el procedimiento ode45 de integración de la ecuación diferencial termine cuando se alcanza el ángulo límite

function [value,isterminal,direction]=stop_enrolla(~,x,xFin)
    value=x(1)-xFin; 
    isterminal=1;
    direction=0; 
end

Actividades

Se introduce

Observamos el movimiento de la partícula hasta que: