Un bloque desliza a lo largo de un plano inclinado y deforma un muelle (I)

Estudio energético del sistema

Un bloque de masa m desliza a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ. Parte del reposo a una distancia d del muelle elástico sin deformar de constante k. Calcular la máxima deformación del muelle. Se supone que el plano no es liso, sino que ejerce una fuerza de rozamiento de coeficiente μk sobre el bloque que desliza a lo largo del mismo.

Comparamos la situación inicial y la situación final

Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen O. El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía inicial y la energía final

f r ( x m +d)=( 1 2 k x m 2 mg x m sinθ )mgdsinθ f r = μ k mgcosθ

Por ejemplo, si d=1.0 m, θ=30º, μk=0.3, k=50 N/m, m=1.0 kg

Resolvemos la ecuación de segundo grado en xm y tomamos la raíz positiva xm=0.357 m=35.7 cm

El problema, como vamos a ver a lo largo de esta página, es susceptible de un estudio más detallado

El bloque desliza por el plano inclinado hacia abajo

Se sitúa el bloque parte de la posición x0 con velocidad inicial nula. Supondremos que el bloque desliza a lo largo del plano inclinado desde la posición x0<0 hasta el origen

La fuerza de rozamiento vale, fr=μk·N=μk mg·cosθ y se opone al movimiento

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final e inicial. Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen. La velocidad v0 con la que el cuerpo llega al origen x=0, es

f r | x 0 |= 1 2 m v 0 2 mg x 0 sinθ  v 0 = 2g(sinθ μ k cosθ) x 0 = 2 a + x 0

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo.

El balance energético cuando el cuerpo se mueve desde el origen a la posición x>0 se escribe

f r x=( 1 2 m v 2 mgxsinθ+ 1 2 k x 2 ) 1 2 m v 0 2

El bloque se detiene en la posición xm en el instante en el que la velocidad v=0. Calculamos la raíz positiva de la ecuación de segundo grado

1 2 k x m 2 mg(sinθ μ k cosθ) x m 1 2 m v 0 2 =0 ω 2 x m 2 2 a + x m v 0 2 =0 x m = a + + a + 2 + v 0 2 ω 2 ω 2

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia arriba

El bloque parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que

kxm-mgsinθ μsmgcosθ,
ω2xm≥a-

en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque en reposo. Supongamos que se cumple la primera condición.

El balance energético cuando el cuerpo se mueve desde la posición xm hacia el origen se escribe

f r | x x m |=( 1 2 m v 2 mgxsinθ+ 1 2 k x 2 )( 1 2 k x m 2 mg x m sinθ )

El bloque desliza hacia arriba

Si el bloque no está sujeto al muelle, el bloque continuará moviéndose hacia arriba hasta que su velocidad sea cero

μ k mg·cosθ| x |=mg| x |sinθ 1 2 m v f 2 x= v f 2 2 a

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

Volverá a deslizar a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, si

mgsinθ-kx1μk·mgcosθ,
ω2x1
a+

Si se cumple esta condición el máximo desplazamiento de móvil x2>x1 se calcula aplicando el balance energético

f r ( x 2 x 1 )=( mg x 2 sinθ+ 1 2 k x 2 2 )( 1 2 k x 1 2 mg x 1 sinθ ) ω 2 x 2 2 2 a + x 2 ( ω 2 x 1 2 2 a + x 1 )=0 x 2 = x 1 + 2 a + ω 2

y así, sucesivamente.

Ejemplo

El bloque desliza por el plano inclinado, hacia abajo

Como tanθ≥μ, tan30≥0.3, el bloque desliza hacia abajo

La aceleración del bloque es

a+=g(sinθ-μcosθ)=9.8·(sin30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s

El tiempo t que tarda en llegar al origen x=0

0=-1.0+a+t2/2, t=0.92 s

La velocidad v del bloque

v=a+t, v0=2.17 m/s

Balance energético

La fuerza de rozamiento vale fr= μmgcosθ=0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N

f r ·1.0= 1 2 1.0· v 0 2 1.0·9.8·1.0·sin30 v 0 =2.17m/s

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

La frecuencia angular ω2=k/m=50

El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento, v=0, es

ωt=πarctan( v 0 ω a + ) t= 1 50 ( πarctan( 2.17· 50 2.35 ) )=0.24s

El máximo desplazamiento xm es

x m = v 0 2 ω 2 + a + 2 + a + ω 2 x m = 2.17 2 ·50+ 2.35 2 +2.35 50  =0.357m

Balance energético

f r x m =( mg x m sinθ+ 1 2 k x m 2 ) 1 2 m v 0 2 2.55 r x m =( 1.0·9.8 x m sin30+ 1 2 50· x m 2 ) 1 2 1.0· 2.17 2

Se resuelve la ecuación de segundo grado para calcular xm=0.357 m

El bloque, en contacto con el muelle, desliza hacia arriba

La aceleración

a-=g(sinθ+μcosθ)=9.8·(sin30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s

El bloque vuelve a pasar por el origen y tarda un tiempo

ωt=πarctan( a ω 2 x m a ) t= 1 50 ( πarctan( 7.45 50·0.3577.45 ) )=0.33s

La velocidad vf del bloque cuando pasa por el origen es

v f = ω 2 x m 2 2 a x m   v f = 50· 0.357 2 2·7.45·0.357 =1.03m/s

Balance energético

f r x m = 1 2 m v f 2 ( 1 2 k x m 2 mg x m sinθ )           2.55·0.357= 1 2 1.0 v f 2 ( 1 2 50· 0.357 2 1.0·9.8·0.357·sin30º ) v f =1.03m/s

El bloque desliza hacia arriba

v=-1.03 +7.45 t
x=-
1.03·t +7.45·t2/2

La velocidad v se hace cero, en el instante t=0.14 s, x0=-0.072 m

El bloque completa un ciclo, y retorna hacia el origen, deslizando por el plano inclinado

x=-0.072+a+t2/2,
v
=a+t,

cuando pasa por el origen x=0, t=0.24 s, v0=0.58 m/s

El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo

El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento es

ωt=πarctan( v 0 ω a + )t= 1 50 ( πarctan( 0.58· 50 2.35 )  )=0.30s    

El máximo desplazamiento xm es

x m = v 0 2 ω 2 + a + 2 + a + ω 2 x m = 0.58 2 ·50+ 2.35 2 +2.35 50  =0.142m

En esta posición

kxm-mgsinθ μsmgcosθ,

1.19<2.55

El bloque permanece definitivamente en reposo en esta posición

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Se proporcionan los datos relativos, al tiempo, t, en segundos, la posición x en cm y la velocidad v del bloque en m/s, y la energía del sistema formado el bloque y el muelle, en cada instante.

Se dibujan mediante fechas las fuerzas sobre el bloque:

En la parte superior derecha, muestra en un diagrama de barras la energía del sistema en cada instante.

La energía va disminuyendo debido al trabajo de la fuerza de rozamiento.